2015-10-16
10263
С целью единообразия толкования терминов прикладной теории надежности издан ГОСТ 27.002-83 «Надежность в технике. Термины и определения». Согласно этому ГОСТу, под надежностью понимается свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания и ремонтов, хранения и транспортирования.
Надежность является комплексным показателем качества и включает в себя безотказность, долговечность, ремонтопригодность и сохраняемость.
Безотказность – свойство объекта непрерывно сохранять работоспособное состояние в течение некоторого времени или некоторой наработки.
Работоспособным называется такое состояние объекта, при котором значения всех параметров, характеризующих способность выполнять заданные функции, соответствуют требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской документации. Неработоспособное состояние является альтернативой работоспособному. Событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния, называется отказом.
Наработка – продолжительность (в часах) или объем работы (в циклах, тоннокилометрах, объемах и др.) объекта.
Для количественной оценки безотказности технических объектов, как объектов восстанавливаемых, в теории надежности используются: параметр потока отказов, средняя наработка на отказ, вероятность безотказной работы и комплексный показатель – коэффициент готовности системы.
Параметр потока отказов w(t) характеризует среднее число отказов, ожидаемых в малом интервале времени Δ t:
,
где т (t, t + Δ t) – число отказов в интервале времени (t, t+ Δ t); N (t) – количество восстанавливаемых изделий, находящихся в работоспособном состоянии в момент времени t.
Средняя наработка на отказ Т представляет собой отношение наработки восстанавливаемого изделия к математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки и определяется по формуле
,
где ti – наработка i -го изделия за время наблюдения; т – число отказов за время наблюдения всех N восстанавливаемых изделий.
Вероятность безотказной работы Р (t) – это вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ изделия не возникнет:
Р (t) = 1 – F (t) = 
где F (t) – функция распределения наработки до отказа; f (t) – плотность распределения наработки до отказа.
Для невосстанавливаемых изделий в качестве показателя безотказности широко используется интенсивность отказов l(t) – условная плотность вероятности возникновения отказа невосстанавливаемого объекта, определяемая для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента отказ не возник:
Решение этого уравнения при начальном условии Р (0) = 1 дает следующую формулу для вероятности безотказной работы:
.
При экспоненциальном законе распределения наработки между отказами (l = const) последняя формула упрощается
Р (t) = ехр(– l t).
Параметр потока отказов и интенсивность отказов в этом случае совпадают (w(t) = l(t) = const), а средняя наработка на отказ определяется как величина, обратная параметру потока отказов:
T = 1/w.
Ремонтопригодность – свойство объекта, заключающееся в приспособленности к предупреждению и обнаружению причин возникновения отказов, повреждений и поддержанию и восстановлению работоспособного состояния путем проведения технического обслуживания и ремонтов.
Для количественной оценки ремонтопригодности наиболее часто используются среднее время восстановления T в и интенсивность восстановления μ.
Среднее время восстановления – это математическое ожидание времени восстановления работоспособного состояния
где 
– время устранения (i- го отказа).
Интенсивность восстановления характеризует количество восстановлений работоспособного состояния изделия в единицу времени и при экспоненциальном законе распределения времени восстановления определяется по формуле m= 1/ T в.
Долговечность – свойство объекта сохранять работоспособное состояние до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонта. Для количественной оценки долговечности наиболее часто применяются такие показатели как средний ресурс (математическое ожидание технического ресурса – наработки изделия от начала его эксплуатации до перехода в предельное состояние) и средний срок службы (математическое ожидание календарной продолжительности от начала эксплуатации изделия до перехода в предельное состояние.)
Сохраняемость – свойство объекта сохранять значения показателей безотказности, долговечности и ремонтопригодности в течение и после хранения и (или) транспортирования. Наиболее часто сохраняемость количественно оценивается средним сроком сохраняемости.
Комплексный показатель надежности – коэффициент готовности – это вероятность застать объект исправным в произвольно выбранный момент времени t. Он представляет собой отношение времени безотказной работы к сумме времени безотказной работы и времени восстановления, взятых за один и тот же календарный срок:
где 
– время работы между отказами; 
– время восстановления i- гоотказа; n – количество отказов.
Данное выражение является статистическим определением коэффициента готовности. Для перехода к вероятностному определению используется формула
где T о– время наработки на отказ за рассмотренный период, T в – время восстановления за тот же период.
Из данного выражения видно, что величина К г может быть повышена за счет увеличения наработки на отказ, а также сокращением времени восстановления, т. е. повышения ремонтопригодности изделия. По своей сути коэффициент готовности численно равен вероятности исправного состояния изделия в любой момент времени кроме планируемых периодов, в течение которых использование изделия по назначению не предусматривается, так как в это время производятся плановые ремонты, профилактика объекта. Т. е. время восстановления Т вучитывает только то время, которое было потрачено на ремонт объекта, связанный с его отказами в период эксплуатации.
Термин безопасность понимается обычно как свойство внешней среды, не создавать ситуаций, причиняющих ущерб здоровью людей, биосфере.
Специфичной особенностью сложных технических объектов – элементов внешней среды, является их многофункциональность. Все функции, выполняемые техническими объектами, можно разделить на три группы:
1) технологические, обеспечивающие функциональное назначение технического объекта (например, для электродвигателей – преобразование электрической энергии в механическую, для коммутационных аппаратов – включение и отключение и т. д.);
2) защитные, обеспечивающие защиту от взрыва, пожара, поражения электрическим током и потери управляемости (системы автоматической защиты – контроль и поддержание определенных значений переменных параметров процессов);
3) вспомогательные, обеспечивающие сигнализацию, некоторые виды вспомогательных блокировок, диагностику и удобства технического обслуживания и ремонта (ТО и Р).
В зависимости от сочетания отказавших элементов технического объекта он может находиться в различных состояниях, которые образуют множество состояний функционирования. Состояние, при котором нарушена защитная функция, называется опасным, а событие, заключающееся в нарушении защитной функции, называется опасным отказом. Безопасное состояние является альтернативой опасному.
Таким образом, в зависимости от степени опасности, отказы можно разделить на две группы: опасные и безопасные. Под опасными отказами следует понимать такие отказы, которые приводят к появлению опасной ситуации, связанной, в первую очередь, с возможностью взрыва, пожара, поражения человека электрическим током, другими опасными факторами, связанными с разрушением технического объекта при аварии (выбросы ядовитых веществ, ударная волна, разлетающиеся элементы конструкций и др.).
Безопасным отказом называется событие, заключающееся в нарушении технологической или вспомогательной функции.
Таким образом, с учетом безопасности и надежности функционирования технический объект может находиться в процессе эксплуатации в одном из восьми состояний, представленных в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Перечень возможных состояний технических комплексов и систем
| Нарушение или сохранение функции | Состояние | ||
| Технологической | Защитной | Вспомогательной | |
| работоспособное безопасное | |||
| работоспособное опасное | |||
| работоспособное опасное | |||
| работоспособное безопасное | |||
| неработоспособное опасное | |||
| неработоспособное безопасное | |||
| неработоспособное безопасное | |||
| неработоспособное опасное |
Примечание: 1 – функция выполняется; 0 – функция нарушена
Из табл. 3.1 видно, что вспомогательная функция не оказывает влияния на работоспособное и безопасное состояния. Поэтому технический объект, с точки зрения безопасности и надежности, может находиться в одном из четырех состояний: работоспособном безопасном, при котором выполняются технологическая и защитная функции; работоспособном опасном, при котором выполняется технологическая функция, но нарушена защитная; неработоспособном опасном, при котором нарушены технологическая и защитная функции; неработоспособном безопасном, при котором нарушена технологическая, но выполняется защитная функция.
В настоящее время нет общепринятого количественного показателя (критерия) безопасности технического объекта (системы). Однако общепризнано, что пожары и взрывы, травмы являются случайными событиями, для описания и количественной оценки которых могут быть применены известные показатели и методы теории вероятностей. Поэтому количественные показатели безопасности технических объектов (систем) имеют единую методологическую основу с показателями безотказности, математические модели которых хорошо разработаны в теории надежности. Следовательно, использование последних существенно облегчает решение задачи количественной оценки безопасности технических объектов (систем).
В качестве количественных показателей безопасности целесообразно принять: параметр потока опасных отказов (параметр потока наступления опасных состояний); среднюю наработку на опасный отказ (наступление опасного состояния); вероятность безопасного состояния.
Параметр потока опасных отказов – отношение среднего числа появлений опасных состояний объекта за произвольно малую его наработку к значению этой наработки, определяется по формуле
при Δ t →0
где q (t + dt) – вероятность опасного отказа за промежуток времени (t, t+dt).
Статистически средний параметр потока опасных отказов, как и параметр потока отказов, определяется по формуле
где m0(t, t + Δ t) – число опасных отказов в интервале времени (t, t + Δ t); N (t) – количество изделий, находящихся под наблюдением в момент времени t.
Средняя наработка на опасный отказ
где Р б (t) – вероятность безопасного состояния – вероятность того, что в пределах заданной наработки опасного состояния не возникает.
Статистически средняя наработка на опасный отказ определяется отношением наработки изделий за время наблюдений к числуих опасных отказов m 0 в течение этого времени
где t i – наработка i -го изделия за время наблюдения.
При рассмотрении всех возможных состояний, в которых может находиться технический объект в процессе эксплуатации, вероятность безопасного состояния в некоторый момент времени t определяется интенсивностями переходов из i -го в j -е состояние.
Для восстанавливаемых объектов опасное состояние не является поглощающим (т. е. может устраняться в условиях эксплуатации), поэтому для полной оценки безопасности необходимо использовать еще два показателя:
среднее время T у нахождения в опасном состоянии (средняя длительность опасного состояния) – математическое ожидание времени устранения опасного состояния;
вероятность устранения опасного состояния – вероятность того, что время устранения опасного состояния объекта не превысит заданного.
Среднее время T у определяется вероятностно как
где f у(t) и F у(t) – соответственно плотность распределения и функция распределения времени устранения опасного состояния.
По статистическим данным среднее время
где τi – время устранения i -го опасного отказа.
Вероятность устранения опасного состояния представляет собой значение функции распределения времени устранения опасного отказа при
τi = Т з, где Т з – заданное время устранения опасного состояния.
По аналогии с комплексным показателем надежности – коэффициентом готовности, можно ввести комплексный показатель – коэффициент безопасности, представляющий собой вероятность того, что объект окажется в безопасном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается.
Для установившегося режима эксплуатации стационарное значение коэффициента безопасности
Вследствие того, что для технических объeктов Т о>> Т у, коэффициент K б оказывается малочувствительным к изменению величин Т ои Т у. Кроме того, коэффициент K б сложно рассчитывать по составляющим технический объект элементам. Для устранения этих недостатков можно пользоваться приближенным значением коэффициента опасности К о, который является дополнительным для коэффициента безопасности (К о + К б = 1, как вероятности несовместных событий нахождения технического объекта в опасном или безопасном состояниях):
при Т у /Т о<<1.
Например [12], проведенные исследования надежности и безопасности рудничного электрооборудования (РЭО) показали, что для подавляющего большинства видов РЭО Т у= 0,1...6,0 ч, Т о= 100...10 000 ч, т. е. отношение Т у /Т о= 0,001...0,0006. Это подтверждает правомерность использования последнего выражения.
С физической точки зрения коэффициент К o характеризует отношение математических ожиданий длительностей опасного и безопасного состояния технического объекта т. е. это относительная длительность опасного состояния.
При условии независимости опасных отказов коэффициент К o равен сумме коэффициентов отказов по j -й причине i -го элемента
где К o ij – коэффициент опасности i -го элемента по j -й причине; n – количество элементов в системе; l – количество причин (видов) опасных отказов.
Это свойство коэффициента К о является очень важным при количественной оценке безопасности техники на стадии проектирования и эксплуатации.
Кроме рассмотренных технических объектов, опасные отказы которых приводят к аварии самого объекта, существуют вспомогательные технические системы, длительный отказ которых (неработоспособное состояние, не приводящее к опасному состоянию таких систем), может привести к появлению опасного состояния в основной системе. Так, например, рассматривая безопасность шахтных систем электроснабжения (ШСЭ), следует учесть то обстоятельство, что длительные перерывы электроснабжения ряда потребителей рудничного электрооборудования (РЭО), обеспечивающих безопасность работ или возможность ликвидации аварий, могут привести к появлению опасных ситуаций (загазование, затопление, нарушение режима проветривания и теплового режима и т. д.). Следовательно, длительные отказы ШСЭ, превышающие допустимое время простоя ряда потребителей, также необходимо отнести к опасным, если даже они и не связаны с нарушениями защитных функций, выполняемых РЭО.
Количественная оценка надежности таких систем имеет ряд особенностей. Системы электроснабжения потребителей, обеспечивающих безопасность работ или возможность ликвидации аварий, являются восстанавливаемыми, функционирующими в условиях объективно существующей временной избыточности. Источниками резервного времени для них являются инертность тепловых процессов и процессов загазования горных выработок, для водоотливных установок – наличие водосборников.
Системы электроснабжения указанных потребителей можно отнести к так называемым системам с пополняемым резервом времени, когда ограничивается время каждого перерыва, а не суммарное время простоя за какой-либо календарный промежуток времени.
Для систем, не имеющих резерва времени, любой, даже кратковременный отказ приводит к появлению опасной ситуации.
Для системы, обладающей резервом времени, отказ еще не означает обязательного появления опасного состояния, так как система имеет возможность восстановить свою работоспособность за резервное (допустимое) время и не допустить появления опасной ситуации. В этом случае для количественной оценки безопасности функционирования подобных систем (например, ШСЭ) можно использовать вероятность невозникновения опасной ситуации (загазования, затопления и т. д.), которую можно представить в виде суммы двух несовместных событий S 1, и S 2.
Событие S 1 состоит в том, чтобы техническая система проработала безотказно в течение времени t 3 где t 3 – минимально необходимое время выполнения задания. Чтобы установка выполнила задание, требующее при безотказной работе времени t 3, необходимо, чтобы суммарная наработка достигла t 3 раньше, чем возникнет отказ, на устранение которого будет затрачено время, превышающее t доп. В этом случае вероятность события S 1; равна 1 – F (t 3), где F – символ функции распределения.
К концу ремонта резерв времени t p уменьшается до t p = t доп – t в, где t в – время восстановления. К моменту следующего отказа резерв времени снова равен t доп, независимо от количества предшествующих отказов, времени, затраченного на их устранение, и наработки между соседними отказами.
Событие S 2 наступает в том случае, если первый перерыв электроснабжения с вероятностью dF (τ) возникает в момент τ < (t – t доп), восстановление электроснабжения с вероятностью dF (t в) заканчивается через время
t в < t допи за оставшееся время t 3 – τ с вероятностью Р (t 3 – τ, t доп) не наступает опасной ситуации.
Интегрируя по t 3 и t доп, суммируя вероятности событий S 1, и S 2, получаем интегральное уравнение для вероятности ненаступления опасной ситуаций [Г.Н. Черкасов, 1974]:
Рассмотренные показатели безопасности технических объектов, как и показатели надежности, удовлетворяют следующим требованиям: имеют простой физический смысл; допускают возможность статистической (опытной) оценки, а также возможность количественной оценки безопасности на этапе проектирования и эксплуатации; допускают задание норм безопасности в количественной форме.
3.2. Оценка показателей надежности. Доверительные границы
и доверительные вероятности
Дляопределенияпоказателей надежности технических объектов используются как законы распределения случайных величин, так и их основные характеристики – математическое ожидание и дисперсия. Законы распределения чаще всего применяют только к элементам объектов, так как для получения этих законов необходимо располагать обширным статистическим материалом (порядка нескольких сот опытов). Накопить такое число опытов (реализации), например отказов для РЭО, тем более сложного, не всегда представляется возможным. Поэтому на практике ограничиваются оценкой параметров распределения, для вычисления которых достаточно иметь один–два десятка реализаций.
Показатели надежности, вычисленные на основе ограниченного числа опытов, всегда содержат элемент случайности. Именно поэтому экспериментально полученные параметры называют оценками параметров. Чем меньше число опытов, тем больше вероятность отклонения оценки параметра от его истинного значения. Математическая статистика установила связь между числом реализации (отказов) п, величиной отклонения оценки параметра от его истинного значения и вероятностью этого отклонения. При этом наилучшая статистическая оценка, обеспечивающая минимальные ошибки, должна обладать следующими основными свойствами.
Оценка должна быть состоятельной. Это значит, что при увеличении числа реализации п оценка параметра должна сходиться по вероятности к своему параметру.
Оценка должна быть несмещенной, т. е. она должна быть свободной от систематической ошибки.
Оценка должна быть эффективной. Это значит, что выбранная несмещенная оценка должна иметь наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками.
На практике не всегда удается добиться, чтобы оценка удовлетворяла всем этим требованиям. Может оказаться, что вычисление эффективной оценки получается очень сложным и трудоемким. В этом случае нередко удовлетворяются другой оценкой, дисперсия которой несколько больше, зато объем вычислений заметно меньше.
В качестве состоятельной и несмещенной оценки средней наработки на отказ T о* для математического ожидания Т о принимается среднее арифметическое значение наработок между отказами ti:
, (3.1)
где n – число отказов, 
– суммарная наработка на отказ.
Статистически дисперсия оценивается выражением
(3.2)
При малых значениях п вычисленная по этой формуле оценка дисперсии оказывается смещенной. Для устранения систематической погрешности достаточно в знаменателе вместо п применить значение п – 1:
(3.3)
Полученные по этим формулам оценки параметров являются точечными, они оценивают неизвестный параметр Т о одним числом и фактически представляют собой также случайные величины, хотя и с существенно меньшей дисперсией, чем изучаемая случайная величина Т. На практике часто требуется знать не только точечную оценку параметра, но и интервал, в котором с заданной вероятностью может находиться сам параметр. Такой интервал характеризует собой точность полученной оценки и называется доверительным интервалом. А вероятность, с которой доверительный интервал заключает в себе параметр, характеризует достоверность оценки и называется доверительной вероятностью. Границы интервала принято называть доверительными границами. Если обозначить нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала соответственно | 
; 
| то доверительная вероятность g будет выражаться формулой
(3.4)
Формулу (3.4) можно написать и в другом виде
(3.5)
Здесь g– вероятность того, что расхождение между 
и Т оне превышает некоторого числа e.
Раскроем (3.5). Если 
> Т о, то 
– Т о£eили 
– e£ Т о. Если
Т о > 
, то Т о– 
£ e или 
£ 
+ e.
Исходя из этого, можно написать
(3.6)
где 
– e = 
– нижняя граница доверительного интервала; 
+ e = 
– верхняя граница доверительного интервала (рис. 3.1).
| ε |
|
|
| ε |
|
|
| Т о |
| Дов. инт. |
| t |
| t |
| T о* |
Рис. 3.1. Доверительный интервал
Таким образом, интервал, в пределах которого заключено неизвестное значение параметра Т о (математическое ожидание), называется доверительным, а вероятность того, что неизвестное значение Т о заключено в пределах этого интервала, называется доверительной.
Если g = 0,9, то это означает, что в 90% случаев обработки статистических данных неизвестное (истинное) значение параметра Т о заключено в пределах доверительного интервала [ 
; 
], а в 10% может быть вне его. Отсюда вытекает важное следствие: чем выше доверительная вероятность, тем шире доверительный интервал.
Теперь рассмотрим интервальные оценки для двух наиболее употребительных в инженерной практике законов распределения отказов: экспоненциального и нормального.
Доверительный интервал при экспоненциальном законе распределения отказов. Предположим, что, используя принцип эргодичности, проводится эксплуатация одного образца объекта весьма продолжительное время, т. е. до получения не менее п отказов.
Необходимо найти доверительный интервал | 
; 
| для неизвестного параметра Т о, если закон распределения отказов экспоненциальный.
При экспоненциальном законе (внезапные отказы) вероятность наступления ровно l отказов подчиняется закону Пуассона
(3.7)
а вероятность наступления не менее п отказов определяется как сумма
(3.8)
Если в формуле (3.8) перейти к новой переменной 
или 
и продифференцировать (3.8) по этой новой переменной, то получим плотность вероятности (вспомним, что 
). Эта плотность вероятности называется À2-распределением, где À2 = 2× tn/T о = z. Она имеет вид, показанный на рис. 3.2.
Рис. 3.2. À2-распределение
Если взять интеграл от этой плотности, то получим
или
(3.9)
где g – доверительная вероятность.
Интеграл в выражении (3.9) табулирован, имеются математические таблицы
(3.10)
Обычно 
и 
выбирают так, чтобы S 1 = S 2 = S (заштрихованные площади равны, см. рис. 3.2). Тогда S 0 + 2 S = 1 или S = (1 – S 0)/2. Но S 0 = g,
g = 1 – a, где a – вероятность допущения ошибки.
Обычно величиной g в эксплуатации задаются, например, часто берут g = 0,9, тогда риск будет a = 0,1.
Условились обозначать как
Тогда 
будет
С учетом новых обозначений формулу (3.10) можно написать
Решая относительно Т О неравенства
,
получим
.
Откуда окончательно имеем
(3.11)
или
где 
– нижняя, 
– верхняя граница доверительного интервала
Зная g, определяют a, a/2, 1 – a/2 и при k = 2 n степеней свободы по таблице приложения 4 находят 
и 
Доверительный интервал при нормальном законе распределения отказов. Пусть требуется оценить T оп – надежность объекта по постепенным отказам (например, по отказам, связанным со старением и износом). Закон распределения таких отказов (без дополнительной проверки) считается нормальным.
