Квантовые статистики

Квантовые системы, состоящие из неразличимых (тождественных) частиц имеют определенную специфику в своем статистическом поведении. В этом случае классические формулы Больцмана-Гиббса для функций распределения должны быть модифицированы.

Рассмотрим в качестве системы одномерный потенциальный ящик (энергетические уровни не вырождены), находящийся, с одной стороны, в термическом контакте с термостатом при температуре q, и, с другой стороны, в диффузионном контакте с резервуаром, содержащим тождественные частицы с химическим потенциалом m.

В результате этих взаимодействий наша система захватит из окружающей среды некоторое число частиц `N и некоторое количество термической энергии `E. Частицы, захваченные системой, будут распределены по доступным уровням энергии по определенному закону.

Этот закон удобно задавать с помощью т.н. "чисел заселенности" (n_e), каждое из которых представляют собой среднее число частиц, заселяющих уровень с заданной энергией e (при этом ån _i = `N).

В классической статистике Больцмана – Гиббса, где все частицы считаются различимыми, эта величина задается выражением:

При переходе к системам, содержащим тождественные частицы, необходимо различать два случая:

фермионные системы (частицы с полуцелым спином)

бозонные системы (частицы с целым спином)

Различие между тремя вариантами статистики можно наглядно проиллюстрировать с помощью графика:

Из графика видно, что при высоких энергиях все три статистики становятся одинаковыми. Однако для уровней с низкой энергией наблюдаются значительные различия. Для фермионных систем заселенности получаются более низкими, по сравнению с предсказаниями классической статистики. Более того, для таких систем заселенности вообще не могут превышать некоторого предела (n_e ≤ 1). Это полностью соответствует принципу Паули — в одном состоянии не может находиться более одного фермиона. Для бозонных систем заселенности получаются больше предсказываемых классической статистикой. Это обстоятельство представляет собой другую сторону принципа Паули — бозоны имеют тенденцию группироваться в одном состоянии (т.н. "конденсация Бозе").