Порядок решения

1. Для выявления наличия тенденции в динамическом ряду необходимо использовать метод сравнения средних уровней. Для этого динамический ряд разбивается на две примерно равные по числу членов части. По каждой части находятся.

1.1. Средние значения - и .

1.2. Исправленные дисперсии.

где

у_t – уровень динамического ряда;

t – индекс уровня динамического ряда;

n – число членов динамического ряда;

n₁ – число членов I части ряда;

n₂ – число членов II части ряда.

Вначале проверяется гипотеза о равенстве дисперсий этих совокупностей на основе F - критерия Фишера-Снедекора.

Для этого нужно определить расчетное значение этого критерия.

и сравнить его с табличным критическим при заданном уровне значимости α и k₁ и k₂ степенями свободы –

F_кр. (α, k₁, k₂), k₁ = n₁-1, k₂ = n₂-1

В данном случае n₁ - это число членов той части ряда, которому соответствует большая дисперсия n₂ - это число членов в той части, которой соответствует меньшая дисперсия

F_кр. (0,01; 5; 5)=10,97 F_кр. (0,05; 5; 5)=5,05

Если F_расч. > F_кр., то гипотеза о равенстве дисперсий отвергается и проверить гипотезу о наличии тренда в динамическом ряду методом сравнений средних уровней нельзя.

Если F_расч. < F_кр., то расхождение между и несущественно (случайно).

В этом случае проверяется основная гипотеза о равенстве двух частей динамического ряда на основе t; - критерия Стьюдента. Находим расчетное значение t - критерия по формуле:

где

Расчетное значение t - критерия сравнивается с табличным критическим его значением при уровне значимости α и степенями свободы k = n₁ + n₂ -2; (tα, k)

t (0,1; 10) = 1,81 t (0,05; 10) = 2,23

t (0,01; 10) = 3,17

Если t_расч. < t_кр., то делается вывод, что расхождение между и незначимо (случайно), т.е. тенденция тренд отсутствует, если t_расч. > t_кр., то расхождение между средними существенно, тенденция (тренд) существует.

2. Уравнение линейного тренда имеет вид гиперболического = а + в/t, где - выравненное значение динамического ряда.

а и b - параметры, оцениваемые статистически на основе эмпирических данных динамического ряда. Эта задача решается методом наименьших квадратов. Для линейного тренда:

Расчеты параметров гиперболического тренда проводятся по аналогичным формулам. Только в расчет вместо значений t и t² принимаются обратные значения и .

Расчеты проводятся в следующих таблицах:

Для линейной функции

Таблица 1.2

T	yt	t2	ty
Σ	Σ	Σ	Σ	Σ	Σ	Σ

Для гиперболической функции (шапка таблицы):

Таблица 1.3

Итоги по этим таблицам дают необходимые данные для определения F_расч и t_расч., параметров трендов, выравненных значений уровней цен, а также для последующих расчетов.

3. Для оценки пригодности функции для описания тренда исчисляется расчетное значение F - критерия по формуле:

где - дисперсия, характеризующая вариацию признака вследствие тенденции.

Рассчитывается по формуле:

где - среднее значение показателя

- дисперсия случайной вариации рассчитывается по формуле:

р - число параметров в уравнении тренда, (р = 2).

Полученную величину необходимо сравнить с табличным критическим значением F - критерия при заданном уровне значимости..... и степенях свободы большей дисперсии

К = р - 1, и меньшей дисперсий К = n - р, т.е.F (…; k₁, k₂).

Если выполняется неравенство F_расч. > F_кр., то уравнение подходит для описания тенденции.

F_крит. (0,01; 1; 10) = 9,85

F_крит. (0,05; 1; 10) = 4,84

Для выбора вида прогностической функции рассчитывается среднеквадратическое отклонение:

4. Для прогнозирования методом экстраполяции тренда найденные статистические закономерности, описывающие тенденцию, распространяются на будущий период. Для этого в найденную аналитическую форму уравнения тренда подставляют интересующие нас даты во времени упреждения прогноза (L) и полученные значения принимают за точный прогноз на период равный L.

В качестве уровня базы экстраполяции принимаются последний n - ый член выровненного по модели тренда исходного динамического ряда. Например, при прогнозе на один месяц (L=1) модели линейного тренда значение прогнозного показателя будет равно

5. Доверительный интервал прогноза в общем виде записывается так

где у_n+L – точный прогноз показателя на время упреждения L

- граница доверительного интервала

- табличное значение t – критерия Стьюдента при уровне значимости α и степенях свободы n-p (значения t, α приведены выше).

- ошибка прогноза на время упреждения L

В свою очередь ошибка прогноза определяется по формуле:

где - среднее квадратичное отклонение расчетных значений от фактического

K_L – множитель, рассчитанный по формуле (для модели тренда с двумя параметрами)

Результаты расчетов представлены в следующей таблице.

Таблица 1.4

ПРОГНОЗ УРОВНЯ СРЕДНИХ ЦЕН НА ____________________

Время упреждения	KL	Ошибка прогноза (SpL)	Граница доверительного интервала	Прогноз
Нижняя граница	Среднее значение	Верхняя граница