Если тело в плоском движении имеет угловую скорость, то мгновенный центр скоростей существует

Мгновенный центр скоростей.

Введем понятие мгновенного центра скоростей.

Мгновенным центром скоростей называется точка плоскости движения, скорость которой в данное мгновение времени равна нулю.

Теорема о существовании мгновенного центра скоростей. Сформулируем теорему, а затем ее докажем.

Если тело в плоском движении имеет угловую скорость, то мгновенный центр скоростей существует.

На рис. 82 показано тело в плоском движении, причем известны его угловая скорость и скорость одной его точки V_A. От точки A отложим отрезок AP = ω / V_A перпендикулярно скорости в сторону вращения тела. Выбрав точку A за полюс, определим скорость точки P. Согласно теореме о сложении скоростей V_P = V_A + V_PA. По величине вектор V_PA равен V_PA = ω AP = V_A, но направлен в сторону, противоположную V_A (перпендикулярно AP в сторону вращения). Складывая равные по величине, но направленные в разные стороны векторы V_A и V_PA (рис. 82), получаем V_P = 0, и теорема доказана.

Свойства мгновенного центра скоростей. Для доказательства свойств мгновенного центра скоростей определим скорости двух точек тела A и B (рис. 83), выбирая мгновенный центр скоростей P за полюс.

По теореме о сложении скоростей V_A = V_P + V_AP; V_B = V_P + V_BP, но V_P = 0, и

(5)

где

(6)

Анализируя рис. 83 и выражения (5) и (6) можно сформулировать первое свойство мгновенного центра скоростей.

Первое свойство. Распределение скоростей точек тела в плоском движении в данное мгновение времени точно такое же, как и при вращении тела вокруг неподвижной оси, которая проходит через мгновенный центр скоростей и перпендикулярна плоскости движения.

Заметим, что мгновенный центр скоростей перемещается в плоскости движения (если бы он был неподвижен, было бы вращение вокруг неподвижной оси). Траектория, которую он описывает в неподвижной системе координат, называется неподвижной центроидой, а траектория, которую он описывает в подвижной системе координат, называется подвижной центроидой. Отсюда следует второе свойство мгновенного центра скоростей.

Второе свойство. При определении скоростей точек тела плоское движение можно представить как последовательность мгновенных вращений вокруг мгновенного центра скоростей, который сам перемещается в плоскости движения тела.

Нахождение мгновенного центра скоростей. Определение положения мгновенного центра в плоскости движения основано на решении системы двух геометрических уравнений из выражений (6): V_A AP; V_B BP.

Мгновенный центр скоростей может быть найден, если известны скорость одной точки тела, например A, и линия действия скорости второй точки тела, например, B (рис. 84).

Восстановив перпендикуляры к вектору скорости точки A и к линии действия скорости точки B, находим точку их пересечения P, которая будет единственным решением системы геометрических уравнений и мгновенным центром скоростей.

Зная длины отрезков AP и BP и свойства мгновенного центра скоростей, определим направление вращения и величину угловой скорости тела, а затем найдем величину и направление вектора скорости второй точки тела. Вращение тела происходит туда, куда вектор скорости V_A первой точки поворачивает тело вокруг мгновенного центра скоростей (в нашем случае на рис. 84 - по часовой стрелке). Вектор скорости V_B второй точки тела перпендикулярен своему радиусу вращения (V_B BP) и направлен в сторону вращения тела (на рис. 84 - вдоль линии действия вверх).

Величины угловой скорости тела и скорости второй точки тела вычисляются по первым двум формулам в выражениях (6):

Существуют особые случаи нахождения мгновенного центра скоростей, показанные на рис. 85.

На рис. 85, a показан случай, когда перпендикуляры, восстановленные к скорости одной точки тела и к линии действия скорости второй точки тела, параллельны друг другу. Эти перпендикуляры между собой не пересекаются, поэтому AP = и ω = V_A / AP = 0. По теореме о сложении скоростей V_B = V_A + V_BA, где V_BA = ω·AB. Но ω = 0, и V_B = V_A. Видим, что тело находится в мгновенно поступательном движении, когда в данное мгновение времени одинаковы только скорости всех точек. Напомним, что при поступательном движении в любой момент времени одинаковы траектории, скорости и ускорения всех точек тела.

На рис. 85, b показан случай, когда перпендикуляры, восстановленные к скорости одной точки тела и к линии действия скорости второй точки тела, совпадают друг с другом. Так как перпендикуляры совпали, то система геометрических уравнений имеет бесконечное число решений (у линии, на которой лежат перпендикуляры, существует бесконечное число точек). Для нахождения единственного решения нужно знать вектор скорости второй точки тела, а не только его линию действия. Когда вектор V_B известен, мгновенный центр скоростей P находится в точке пересечения перпендикуляров с линией, соединяющей концы векторов скоростей V_A и V_B. Остается определить направление вращения тела и величину угловой скорости, равную ω = V_A / AP = V_B / BP.

На рис. 85, c показано качение колеса без скольжения по неподвижной поверхности. В этом случае положение мгновенного центра можно найти из физических соображений, используя результаты примера 2 предыдущего раздела. Так как скорости всех точек неподвижной поверхности равны нулю, а при качении без скольжения скорости точек касания тел одинаковы, то в точке касания колеса с неподвижной поверхностью будет находиться мгновенный центр скоростей P колеса.

На том же рисунке жирными точками отмечены последовательные положения мгновенного центра скоростей на колесе и на неподвижной поверхности при качении колеса. Мы видим, что мгновенный центр скоростей перемещается в плоскости движения; неподвижной центроидой является прямая линия; подвижной центроидой является окружность, радиус которой равен радиусу колеса.