Расчет валов и осей

При работе валы и вращающиеся оси даже при постоянной внешней нагрузке испытывают знакопеременные напряжения изгиба симметрич­ного цикла, следовательно, возможно усталостное разрушение валов и вращающихся осей. Чрезмерная деформация валов может нарушить нор­мальную работу зубчатых колес и подшипников, следовательно, основ­ными критериями работоспособности валов и осей являются сопротив­ление усталости материала и жесткость. Практика показывает, что разрушение валов быстроходных машин обычно происходит в результате усталости материала.

Для окончательного расчета вала необходимо знать его конструк­цию, тип и расположение опор, места приложения внешних нагрузок. Вместе с тем подбор подшипников можно осуществить только когда из­вестен диаметр вала. Поэтому расчет валов выполняется в два этапа: предварительный (проектный) и окончательный (проверочный).

Предварительный расчет валов. Проектный расчет производится только на кручение, причем для компенсации напряжений изгиба и дру­гих неучтенных факторов принимают значительно пониженные значения допускаемых напряжений кручения, например, для выходных участков валов редукторов = (0,025...0,03) σ_в, где σ_в — временное сопротивле­ние материала вала. Тогда диаметр вала определится из условия прочности

τ_к = М_к / (0,2d³ ) ≤ ,

откуда

d ≥ .

Полученное значение диаметра округляется до ближайшего стан­дартного размера согласно ГОСТ «Нормальные линейные размеры», ус­танавливающего четыре ряда основных и ряд дополнительных размеров; последние допускается применять лишь в обоснованных случаях. Так, из ряда R_a40 указанного стандарта в диапазоне от 16 до 100 мм предусмот­рены следующие основные нормальные линейные размеры: 16,17,18,19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 45, 48, 50, 53, 56, 60, 63, 67,71,75,80,85,90,95,100.

Так как промышленность изготовляет подшипники качения с диа­метром отверстия 35, 55, 65, 70 мм в указанном диапазоне, то разрешает­ся использовать для цапф валов и осей эти дополнительные размеры.

При проектировании редукторов диаметр выходного конца ведущего вала можно принять равным диаметру вала электродвигателя, с которым вал редуктора будет соединен муфтой.

После установления диаметра выходного конца вала назначается диаметр цапф вала (несколько больше диаметра выходного конца) и про­изводится подбор подшипников. Диаметр посадочных поверхностей ва­лов под ступицы насаживаемых деталей для удобства сборки принимают больше диаметров соседних участков. В результате этого ступенчатый вал по форме оказывается близок к брусу равного сопротивления.

Расчетные схемы валов и осей (рис. 12.4, а — д). При составлении расчетной схемы валы и оси рассматривают как балки, шарнирно закреп­ленные в жестких опорах, одна из которых подвижная. Нагрузки, переда­ваемые валам и осям со стороны насаженных на них деталей, полагают сосредоточенными и приложенными в середине ступицы (рис. 12.4, д). Силы трения в подшипниках не учитывают, силами тяжести валов, осей и насаженных на них деталей обычно пренебрегают. Кроме того, в боль­шинстве случаев пренебрегают усилиями, растягивающими или сжи­мающими вал.

Оси координат на расчетной схеме следует направлять вдоль векто­ров основных внешних сил. Если угол между плоскостями действия внешних сил не превышает 30°, то эти силы на расчетной схеме можно совмещать в одну плоскость.

Радиальные реакции подшипников, а следовательно, и условные опоры полагают расположенными следующим образом (рис. 12.4): а — У подшипников скольжения на расстоянии 0,3...0,4 его длины от внутренне­го торца, так как вследствие деформаций валов и осей давление по длине подшипника распределено неравномерно; б — у радиальных подшипни­ков качения в середине их ширины; в, г — у радиально-упорных подшип­ников качения в точках О пересечения с осью вала нормали к площадке контакта в ее середине (размер а, определяющий расстояние точки О от клейменого торца подшипника, вычисляется по формулам в зависимости от размеров подшипника).

На рис. 12.5, а— е представлена расчетная схема ведущего вала ци­линдрического редуктора с косозубыми колесами, нагруженного вра­щающим моментом Т, окружной силой F_t, радиальной силой F_r и осевой силой F_a. Здесь же представлены эпюры изгибающих моментов в верти­кальной и горизонтальной плоскостях и эпюра крутящих моментов. Сум­марный изгибающий момент в любом сечении вала определяется как геометрическая сумма изгибающих моментов в горизонтальной и верти­кальной плоскостях по формуле

М_и = .

Одновременное действие изгибающего и крутящего моментов учи­тывается значением эквивалентного момента, например, по гипотезе наи­больших касательных напряжений

М_экв = .

Окончательный расчет валов. Проверочный расчет валов выпол­няется на усталость и жесткость (расчеты на колебания мы рассматривать не будем).

Упрощенный проверочный расчет валов на усталость исходит из предположения, что не только нормальные, но и касательные напряжения изменяются по симметричному (наиболее неблагоприятному) циклу.

Этот вид расчета дает неточность на несколько процентов в сторону увеличе­ния запаса прочности вала. Условие сопротивления усталости имеет вид

σ_экв = М_экв /(0,1d³) ≤ ,

где σ_экв — эквивалентное напряжение в проверяемом сечении; М _экв — эквивалентный момент; d — диаметр вала в этом сечении; — до­пускаемое напряжение на изгиб при симметричном цикле изменения на­пряжений (см. табл. 12.1).

Расчетный диаметр вала в проверяемом сечении определяется по формуле

d =

и сравнивается с принятым при конструировании вала диаметром.

Таблица 12.1

Материал	Временное сопротивление σв, МПа	Допускаемые напряже­ния, МПа
Углеродистая сталь
Легированная сталь

Бели проверяемое сечение вала ослаблено шпоночной канавкой, то расчетный диаметр вала следует увеличить на 7... 10%.

Приведенные для проектного и проверочного расчета валов формулы и рекомендации используются и для расчета осей с учетом только нормальных напряжений изгиба, так как М_к = 0. Допускаемое напряжение [σ _и ] для невращающихся и — для вращающихся осей выбирают по табл. 12.1.

Уточненный проверочный расчет валов на усталость исходит из предположения, что нормальные напряжения изменяются по симметрич­ному, а касательные — по асимметричному циклу. Этот расчет заключа­ется в определении фактического коэффициента запаса прочности в предположительно опасных сечениях с учетом характера изменения на­пряжений, влияния абсолютных размеров деталей, концентрации напря­жений, шероховатости и упрочнения поверхностей. Условие сопротивле­ния усталости имеет вид

s = s_σ + s_τ / ≥ ,

где s_σ, s_τ — коэффициенты запаса прочности по нормальным и касатель­ным напряжениям (их вычисление рассматривалось в сопротивлении ма­териалов); [s] — допускаемый коэффициент запаса прочности; для валов передач [s] ≥ 1,3.

В большинстве случаев можно ограничиться упрощенным прове­рочным расчетом валов. По известному эквивалентному напряжению в предположительно опасном сечении легко определить случаи, когда ус­ловия сопротивления усталости заведомо выполняются. Уточненный проверочный расчет на усталость производить нет необходимости, если

σ_экв ≤ / (К ) ≈ ,

где — предел выносливости гладкого образца при симметричном цикле нагружения; К — коэффициент снижения предела выносливости, определяемый по формуле

К = (К_σ / К_d + 1/К_F -1)/К_υ,

где К_σ — эффективный коэффициент концентрации напряжений; K_d — коэффициент влияния абсолютных размеров поперечного сечения; K_F — коэффициент влияния шероховатости поверхности; K_υ — коэффициент влияния поверхностного упрочнения. Значения указанных коэффициен­тов приводятся в справочной литературе и учебниках для вузов.

Проверочный расчет на усталость ведется по номинальной длитель­но действующей нагрузке без учета кратковременных перегрузок (напри­мер, в период пуска или динамических и ударных воздействиях), повто­ряемость которых невелика и не может вызвать усталостное разрушение.

Расчет на статическую прочность. В случаях возможности воз­никновения кратковременных пиковых нагрузок для предупреждения остаточных деформаций проводится проверочный расчет на статиче­скую прочность по условию

Σ_{экв max} = К_п σ_экв ≤ σ_т / ,

где К _п— коэффициент перегрузки, равный отношению максимального момента двигателя к его номинальному значению (при наличии предо­хранительного устройства К _пзависит от момента, при котором срабаты­вает это устройство); σ_т — предел текучести материала; — допускае­мый коэффициент запаса прочности по пределу текучести. Обычно при­нимают = 1,2...1,8.

Расчет валов и осей на жесткость. Под действием приложенных активных и реактивных сил валы изгиба­ются и скручиваются. Де­формации валов при изгибе характеризуются прогибом у и углами поворота α попе­речных сечений (рис. 12.7). Деформация кручения вала характеризуется углом за­кручивания φ.

В результате прогиба и поворота сечений вала изменяется взаимное положение зубчатых венцов передач (рис. 12.7) и элементов подшипни­ков, что вызывает неравномерность распределения нагрузок по ширине венцов зубчатых колес и длине подшипников скольжения, перекос колец подшипников качения. Деформация кручения валов вызывает неравно­мерность распределения нагрузки по длине шлицев в шлицевых соедине­ниях по длине венцов валов — шестерен, может быть причиной потери точности ходовых винтов токарно-винторезных станков и причиной воз­никновения крутильных колебаний валов.

Деформация валов мало влияет на работу ременных и цепных пере­дач, поэтому валы таких передач на жесткость не проверяют. Короткие валы, например валы редукторов, на жесткость обычно не проверяют, так как прогибы и углы закручивания таких валов невелики и жесткость их обеспечена.

Условия жесткости валов записывают следующим образом:

у ≤ [у]; f ≤ ; α ≤ ; ≤ .

Здесь [у] — допускаемый прогиб (в месте установки зубчатых колес, [у] ≤ 0,01 т, где т — модуль зацепления); [ ] — допускаемая стрела про­гиба (для валов общего назначения в станкостроении [ f ] ≤ 0,0003 l, где l — длина пролета); [α] — допускаемый угол поворота сечения вала (для подшипников скольжения [α] = 0,001 рад, для подшипников качения [α] ≤ 0,05 рад и в значительной мере зависит от типа подшипника; для

валов зубчатых передач для сечений в опорах [α] = 0,001 рад); —

допускаемый угол закручивания вала ( = 0,25... 1 град/м и зависит от требований и условий работы конструкции).

Условие жесткости осей записывается так:

f ≤ ,

здесь ≤ 0,002 l, где l — расстояние между опорами.

Пример 12.1. Рассчитать ведущий вал цилиндрического редуктора с косозубыми колесами, расчетная схема которого представлена на рис. 12.5, а. Дано: диаметр дели­тельной окружности шестерни d₁ = 100 мм, b = 50 мм, с = 90 мм, радиальная сила F_r = 960 Н, осевая сила F_a = 370 Н, вращающий момент на валу T = 131 Н·м.

Решение. Из проектного расчета на кручение определим диаметр d_в выход­ного участка вала, приняв материал сталь 45 с временным сопротивлением σ_в = 730 МПа. Расчетный диаметр вала (учитывая, что М_к = Т) будет равен

d_в ≥ = = 0,032 м = 32 мм.

Принимаем диаметр цапф d =35 мм в соответствии со стандартом на под­шипники качения.

Диаметр свободных участков вала примем равным 40 мм, а посадочный диаметр вала под шестерню равным 45 мм.

Далее, выбрав оси координат, построим эпюры изгибающих моментов в вер­тикальной и горизонтальной плоскостях, эпюру крутящих моментов и определим эквивалентный момент в месте посадки шестерни (опасное сечение), предвари­тельно вычислив окружную силу:

F_t = 2T / d₁ = 2·131/0,1 = 2620 Н;

М _их = F_rcb/l + F_ad₁c/(2l) = 960 · 0,09 ·0,05/0,14 + 370 · 0,1 · 0,09/(2 · 0,14) = 42,7 Н·м;

М _иу= F_t cb/l = 2620 · 0,09 · 0,05/0,14 = 84,4 Н·м;

М_экв = = = 162 Н·м.

Приняв по табл. 12.1 допускаемое напряжение = 65 МПа, определим диаметр посадочного места из упрощенного проверочного расчета на усталость:

d = = = 0,0292 м = 29,2 мм.

Так как в месте посадки шестерни на валу будет шпоночный паз, то, увели­чив расчетный диаметр на 10%, в результате получим d_p ≈ 32 мм. Сравнивая расчетный диаметр с принятым из конструктивных соображений, видим, что со­противление усталости вала обеспечено со значительным запасом.

Еще более прочной будет конструкция, если шестерню изготовить за одно целое с валом. Конструкцию вала—шестерни, соответствующую этому примеру, см. на рис. 13.21.