2015-10-13
745
Система счисления - совокупность приемов и правил для установления однозначного соответствия между любым числом и его представлением в виде некоторой совокупности знаков (символов). Запись числа в некоторой системе счисления называют кодом числа. Кратко число записывается следующим образом:
.
где: АКЭЧ - количественный эквивалент числа (А);
(anan-1….a2a1a0) - цифры из множества, с помощью которых можно представить число (А);
n - количество разрядов в числе.
Например:
| 456 = | 4 5 6 |
| разряды- | 2-1-0 |
Отдельную позицию в изображении числа принято называть разрядом, а номер позиции - номером разряда. Число разрядов в записи числа называется разрядностью и совпадает с его длиной.
Тогда количественный эквивалент числа - (КЭЧ) - (А), заданного в определенной системе счисления, является некоторой функцией числовых эквивалентов всех его цифр, т.е.:
.
где: К(А) - количественный эквивалент числа (А);
К (аn) - максимальный количественный (числовой) эквивалент цифры числа (А), находящийся в крайнем левом разряде;
|
|
|
К (а0) - минимальный количественный (числовой) эквивалент цифры числа (А), находящийся в крайнем правом разряде;
Следовательно при любой конечной разрядной сетке КЭЧ (А) будет принимать в зависимости от количественных эквивалентов отдельных разрядов значения от К(А)min до К(А)max.
.
где: D - диапазон представимых чисел в определенной системе счисления;
К(А)(р)max - максимальный количественный эквивалент числа (А) по основанию (р);
К(А)(р)mіn - минимальный количественный эквивалент числа (А) по основанию (р).
Любая система счисления, предназначенная для практического использования, должна обеспечивать:
- возможность представления любого числа в заданном диапазоне чисел;
- однозначность представления;
- краткость и простоту записи чисел;
- легкость овладения системой, а также простоту и удобство оперирования ею.
2.1 Классификация систем счисления
В настоящее время различают позиционные и непозиционные системы счисления. Классификация систем счисления приведена на рис. 2.1.
 |
Непозиционная система счисления: это такая система счисления, в которой каждой цифре на любом ее месте в записи числа однозначно соответствует один и тот же количественный эквивалент.
Наиболее известным примером такой системы является римская система счисления:
| Десятичные числа: | |||||||
| Римские цифры: | I | V | X | L | C | D | M |
В римской системе счисления несколько стоящих рядом одинаковых цифр суммируются:
XXX = X+X+X= 30(10).
Если рядом стоят разные цифры, причем младшая – справа от старшей, то они также суммируются:
|
|
|
XVI = X+V+I = 16(10).
Если же младшая цифра находится слева от старшей, то она вычитается из этой старшей цифры:
IX = X – I = 9(10).
Недостатки римской системы счисления заключаются в следующем:
- в пределе, теоретически, она имеет бесконечное количество цифр;
- арифметические действия над числами очень сложны;
- отсутствует цифра {0}.
Позиционная система счисления: это такая система счисления, в которой одной и той же цифре в зависимости от ее местоположения в записи числа соответствуют различные количественные эквиваленты. Наиболее известным примером такой системы является десятичная система счисления, например: цифры 1 и 2 в зависимости от местоположения этих цифр в числе изменяется значение самого числа:
| Разряды: | Десятки | Единицы |
| Цифры: |
При таком положении цифр получается число двенадцать (12(10)).
Если поменять местами цифры 1 и 2:
| Разряды: | Десятки | Единицы |
| Цифры: |
получается число двадцать один (21(10)).
Любое число в позиционной системе счисления может быть записано в виде:
. (2.4)
где 
- количественный эквивалент числа (А), состоящего из (n) цифр;
- цифра, 
;
- основание системы счисления.
Правило: Количественный эквивалент числа в позиционной системе счисления равен сумме произведений количественных значений цифр и степеней основания, показатели которых равны номерам разрядов, причем нумерация разрядов начинается с (0).
Например: 
, n=4, p=10, тогда можно записать:
. (2.5)
тогда:
.
Однородность системы счисления означает, что во всех разрядах числа, записанного в такой системе, используют цифры из одного и того же множества.
Например, в обычной десятичной системе счисления во всех разрядах числа используются цифры из множества:
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},
в двоичной системе счисления используются цифры из множества:
{0,1},
в троичной системе счисления используются цифры из множества:
{0,1,2},
в пятеричной системе счисления используются цифры из множества:
{0,1,2,3,4},
в восьмеричной системе счисления используются цифры из множества:
{0,1,2,3,4,5,6,7},
в шестнадцатеричной системе счисления при записи числа используются цифры и буквы:
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}.
Если позиционная система счисления однородная с непосредственным представлением цифр и с естественным порядком весов, то любое число может быть представлено в виде суммы попарных произведений:
. (2.6)
где 
- количественный эквивалент числа (А);
- цифра,
- основание системы счисления.
s - количество разрядов в целой части числа слева от запятой;
m - количество разрядов в дробной части числа справа от запятой.
Исходя из выше сказанного можно записать:
.
или: 
.
Соответствие чисел в (10 - ой), (16 – ой), (8 – ой) и (2 – ой) системах счисления приведены в таблице:
Таблица - Соответствие чисел в (10 - ой), (16 - ой), (8 - ой) и (2 - ой) системах счисления
| Десятеричная Х(10) | Шестнадцатеричная Х(16) | Восьмеричная Х(8) | Двоичная Х(2) |
| А | |||
| В | |||
| С | |||
| D | |||
| Е | |||
| F |
Помимо позиционных однородных систем известны также позиционные неоднородные (смешанные) системы счисления.
В таких системах цифры в разных разрядах могут принимать значения из различных множеств.
Задают неоднородные системы с помощью двухстрочных матриц вида:
. (2.7)
Здесь в первой строке матрицы указано число разрядов (ti), отводимых в (i-й) группе разрядов (i= 
) представления числа для записи цифр по основанию (ki), которое указано во второй строке того же столбца.
