2015-10-13
1734
Цель работы
Изучение метода, альтернативного основному методу определения стандартных отклонений повторяемости и воспроизводимости стандартного метода измерений, именуемого моделью эксперимента с разделенными уровнями, в меньшей степени зависящего от решений, принимаемых на основе данных аналитика.
Описание работы
Эксперимент с однородными уровнями, описанный в [1], требует по две или более идентичных проб материала для испытаний в каждой лаборатории – участнице эксперимента на каждом уровне. При этом имеется риск, что оператор допустит влияние результата предыдущих измерений одной пробы на результат последующего измерения другой пробы того же материала. В этом случае результаты эксперимента по оценке прецизионности будут искажены: оценки стандартного отклонения повторяемости s r будут уменьшены, а оценки межлабораторного стандартного отклонения s L возрастут.
В эксперименте с разделенными уровнями каждую лабораторию – участницу эксперимента снабжают двумя подобными пробами материала для каждого уровня эксперимента, а операторам сообщают, что пробы не идентичны, но не информируют о степени их различия. Эксперимент с разделенными уровнями обеспечивает, таким образом, возможность определения стандартных отклонений повторяемости и воспроизводимости стандартного метода измерений способом, снижающим риск воздействия результата измерений, полученного на одной пробе, на результат измерений, полученный в эксперименте на другой пробе.
|
|
|
В общем случае стандартные отклонения повторяемости и воспроизводимости метода измерений зависят от уровня измеряемой характеристики материала [1]. Например, когда результат измерений пропорционален определяемому содержанию элемента, стандартные отклонения повторяемости и воспроизводимости обычно возрастают пропорционально возрастанию содержания элемента. Для эксперимента с разделенными уровнями приемлемо, если две пробы материала, используемые на одном уровне, дают почти одинаковые результаты измерений.
Основная статистическая модель оценивания точности (правильности и прецизионности) метода измерений представляет каждый результат измерения как сумму трех составляющих:
yijk = mj + Bij + eijk, (3.1)
где mj – общее среднее значение для определенного уровня, j = 1, …, q;
Bij – лабораторная составляющая систематической погрешности в условиях повторяемости в определенной лаборатории i = 1, …, p на определенном уровне j = 1, …, q;
eijk – случайная погрешность результата измерений k = 1, …, n, полученная в лаборатории i на уровне j в условиях повторяемости.
Для эксперимента с разделенными уровнями эта модель принимает вид
|
|
|
yijk = mjk + Bij + eijk. (3.2)
Это равенство отличается от равенства (3.3) наличием индекса k в mjk, означающим, что общее среднее значение может теперь зависеть от материала a или b (k = 1 или 2) на уровне j.
Отсутствие индекса k в Bij означает допущение, что систематическая ошибка, связанная с лабораторией i, не зависит от материала a или b на определенном уровне. Вот почему так важно, чтобы эти два материала были бы однородными (одинаковыми).
Исходные данные
Исходные данные представлены в табл. 3.1.
Число лабораторий-участниц p, каждая из которых испытывает по две пробы на q уровнях.
Две пробы внутри уровня обозначены a (проба одного материала) и b (проба другого, подобного материала).
Данные эксперимента с разделенными уровнями обозначают yijk, где i – номер лаборатории (i = 1, 2, …, p); j – уровень (j = 1, 2, …, q); k – проба (k = a или b).
Задание
1. Рассчитать статистические характеристики результатов измерений в базовых элементах и внутриэлементных расхождений.
2. Провести исследования зависимости стандартных отклонений повторяемости и воспроизводимости от средних значений на каждом уровне измерения.
3. Провести исследование данных на совместимость, использую статистику h Манделя.
4. Провести исследование данных на совместимость, используя статистику Граббса.
5. Сделать выводы
Таблица 3.1
Исходные данные
| № лаборатории, i | Уровни измерения j | |||||||||
| a | b | a | b | a | b | a | b | a | b | |
| 19,29 | 19,27 | 15,43 | 15,42 | 11,57 | 11,56 | 7,72 | 7,71 | 3,86 | 3,85 | |
| 19,31 | 19,30 | 15,42 | 15,44 | 11,59 | 11,58 | 7,70 | 7,72 | 3,87 | 3,86 | |
| 19,26 | 19,35 | 15,41 | 15,48 | 11,56 | 11,61 | 7,70 | 7,74 | 3,85 | 3,87 | |
| 19,25 | 19,30 | 15,40 | 15,44 | 11,55 | 11,58 | 7,70 | 7,72 | 3,85 | 3,86 | |
| 19,28 | 19,35 | 15,42 | 15,48 | 11,57 | 11,61 | 7,71 | 7,74 | 3,86 | 3,87 | |
| 19,33 | 19,29 | 15,46 | 15,43 | 11,60 | 11,57 | 7,73 | 7,72 | 3,87 | 3,86 | |
| 19,34 | 19,30 | 15,47 | 15,44 | 11,60 | 11,58 | 7,74 | 7,72 | 3,87 | 3,86 | |
| 19,31 | 19,26 | 15,45 | 15,41 | 11,59 | 11,56 | 7,72 | 7,70 | 3,86 | 3,85 | |
| 19,32 | 19,30 | 15,46 | 15,44 | 11,59 | 11,60 | 7,73 | 7,72 | 3,84 | 3,86 | |
| 19,35 | 19,26 | 15,48 | 15,46 | 11,61 | 11,60 | 7,71 | 7,74 | 3,87 | 3,85 | |
| 19,27 | 19,33 | 15,42 | 15,46 | 11,56 | 11,60 | 7,71 | 7,73 | 3,85 | 3,87 | |
| 19,30 | 19,34 | 15,44 | 15,47 | 11,58 | 11,60 | 7,72 | 7,74 | 3,86 | 3,87 | |
| 19,35 | 19,31 | 15,48 | 15,45 | 11,61 | 11,59 | 7,74 | 7,72 | 3,87 | 3,86 | |
| 19,30 | 19,32 | 15,44 | 15,46 | 11,58 | 11,59 | 7,72 | 7,73 | 3,86 | 3,84 | |
| 19,30 | 19,35 | 15,42 | 15,48 | 11,57 | 11,61 | 7,74 | 7,71 | 3,85 | 3,87 | |
| 19,33 | 19,35 | 15,44 | 15,46 | 11,58 | 11,57 | 7,72 | 7,74 | 3,86 | 3,87 | |
| 19,29 | 19,27 | 15,48 | 15,45 | 11,56 | 11,58 | 7,72 | 7,71 | 3,87 | 3,86 | |
| 19,32 | 19,30 | 15,44 | 15,42 | 11,60 | 11,56 | 7,70 | 7,72 | 3,86 | 3,85 | |
| 19,26 | 19,35 | 15,48 | 15,44 | 11,60 | 11,55 | 7,72 | 7,74 | 3,87 | 3,85 | |
| 19,30 | 19,32 | 15,43 | 15,48 | 11,60 | 11,57 | 7,74 | 7,72 | 3,86 | 3,84 |
Выполнение задания
1. Определение статистических характеристик
В табл. 3.1 каждая комбинация лаборатории и уровня дает базовый элемент (ячейку), который содержит два результата yija и yijb.
В базовом элементе (ячейке) определяют среднее значение
yij = (yija + yijb)/2 (3.3)
Для каждого уровня j рассчитывают среднее значение 
и стандартное отклонение syj средних значений
, (3.4)
. (3.5)
Средние значения и стандартные отклонения приведены в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Средние значения и стандартные отклонения средних значений
| № лаборатории | Уровень 1 | Уровень 2 | Уровень 3 | Уровень 4 | Уровень 5 |
| 19,280 | 15,425 | 11,565 | 7,715 | 3,855 | |
| 19,305 | 15,430 | 11,585 | 7,710 | 3,865 | |
| 19,305 | 15,445 | 11,585 | 7,720 | 3,860 | |
| 19,275 | 15,420 | 11,565 | 7,710 | 3,855 | |
| 19,315 | 15,450 | 11,590 | 7,725 | 3,865 | |
| 19,310 | 15,445 | 11,585 | 7,725 | 3,865 | |
| 19,320 | 15,455 | 11,590 | 7,730 | 3,865 | |
| 19,285 | 15,430 | 11,575 | 7,710 | 3,855 | |
| 19,310 | 15,450 | 11,595 | 7,725 | 3,850 | |
| 19,305 | 15,470 | 11,605 | 7,725 | 3,860 | |
| 19,300 | 15,440 | 11,580 | 7,720 | 3,860 | |
| 19,320 | 15,455 | 11,590 | 7,730 | 3,865 | |
| 19,330 | 15,465 | 11,600 | 7,730 | 3,865 | |
| 19,310 | 15,450 | 11,585 | 7,725 | 3,850 | |
| 19,325 | 15,450 | 11,590 | 7,725 | 3,860 | |
| 19,340 | 15,450 | 11,575 | 7,730 | 3,865 | |
| 19,280 | 15,465 | 11,570 | 7,715 | 3,865 | |
| 19,310 | 15,430 | 11,580 | 7,710 | 3,855 | |
| 19,305 | 15,460 | 11,575 | 7,730 | 3,860 | |
| 19,310 | 15,455 | 11,585 | 7,730 | 3,850 | |
| 19,3070 | 15,4470 | 11,5835 | 7,7220 | 3,8595 |
| syj | 0,016890 | 0,013992 | 0,010650 | 0,007678 | 0,005596 |
В базовом элементе определяют внутриэлементное расхождение
|
|
|
Dij = yija – yijb. (3.6)
Для каждого уровня j рассчитывают среднее значение 
и стандартное отклонение sDj внутриэлементных расхождений
, (3.7)
. (3.8)
Рассчитывают стандартные отклонения повторяемости srj и дисперсии воспроизводимости 
внутриэлементных расхождений.
, (3.9)
. (3.10)
Внутриэлементные расхождения Dij с сохранением знака разности a – b, стандартные отклонения и дисперсии приведены в табл. 3.3.
Таблица 3.3
Внутриэлементные расхождения, стандартные отклонения и дисперсии
| № лаборатории | Уровень 1 | Уровень 2 | Уровень 3 | Уровень 4 | Уровень 5 |
| 0,02 | 0,01 | 0,01 | 0,01 | 0,01 | |
| 0,01 | -0,02 | 0,01 | -0,02 | 0,01 | |
| -0,09 | -0,07 | -0,05 | -0,04 | -0,02 | |
| -0,05 | -0,04 | -0,03 | -0,02 | -0,01 | |
| -0,07 | -0,06 | -0,04 | -0,03 | -0,01 | |
| 0,04 | 0,03 | 0,03 | 0,01 | 0,01 | |
| 0,04 | 0,03 | 0,02 | 0,02 | 0,01 | |
| 0,05 | 0,04 | 0,03 | 0,02 | 0,01 | |
| 0,02 | 0,02 | -0,01 | 0,01 | -0,02 | |
| 0,09 | 0,02 | 0,01 | -0,03 | 0,02 | |
| -0,06 | -0,04 | -0,04 | -0,02 | -0,02 | |
| -0,04 | -0,03 | -0,02 | -0,02 | -0,01 | |
| 0,04 | 0,03 | 0,02 | 0,02 | 0,01 | |
| -0,02 | -0,02 | -0,01 | -0,01 | 0,02 | |
| -0,05 | -0,06 | -0,04 | 0,03 | -0,02 | |
| -0,02 | -0,02 | 0,01 | -0,02 | -0,01 | |
| 0,02 | 0,03 | -0,02 | 0,01 | 0,01 | |
| 0,02 | 0,02 | 0,04 | -0,02 | 0,01 | |
| -0,09 | 0,04 | 0,05 | -0,02 | 0,02 | |
| -0,02 | -0,05 | 0,03 | 0,02 | 0,02 | |
| -0,008 | -0,007 | 0,000 | -0,005 | 0,002 |
| sDj | 0,050430 | 0,037711 | 0,030088 | 0,021398 | 0,015079 |
| srj | 0,035659 | 0,026666 | 0,021275 | 0,015131 | 0,010662 |
| sRj | 0,030349 | 0,02348 | 0,018432 | 0,013169 | 0,009389 |
| 0,001272 | 0,000711 | 0,000453 | 0,000229 | 0,000114 |
| 0,000921 | 0,000551 | 0,000340 | 0,000173 | 0,000088 |
2. Исследование зависимости srj и sRj от среднего
Исследуют, зависят ли srj и sRj от среднего и, если это так, находят соответствующие функциональные соотношения [1].
При весовых коэффициентах Wj, равных 
расчетные формулы
, 
, 
, 
, 
, (3.11)
где N = 0, 1, 2... для последовательных итераций.
Для зависимости s = bm
b = T 5/ T 3. (3.12)
Результаты расчета (3.11), (3.12) приведены в табл. 3.4 и представлены на рис. 3.1. Итоговым результатом будет sr = 0,001927 , sR = 0,001673 .
Таблица 3.4
Аппроксимация зависимости s = f () прямой линией s = by
| Стандартное отклонение повторяемости | |||||||
| Итерация 1 | Коэффициент | sr 1 | sr 2 | sr 3 | sr 4 | sr 5 | |
| 0,035659 | 0,026666 | 0,021275 | 0,015131 | 0,010662 | |||
| W 1 | W 2 | W 3 | W 4 | W 5 | |||
| 786,4 | 1406,4 | 2209,3 | 4367,8 | 8796,3 | |||
| Т 1 | Т 2 | Т 3 | Т 4 | Т 5 | |||
| – | – | 1316635,9 | – | 2537,5 | |||
| b | 0,001927 | ||||||
| Итерация 2 | sr 1 | sr 2 | sr 3 | sr 4 | sr 5 | ||
| 0,037210 | 0,029770 | 0,022324 | 0,014882 | 0,007438 | |||
| W 1 | W 2 | W 3 | W 4 | W 5 | |||
| 722,3 | 1128,3 | 2006,5 | 4515,0 | 18074,1 | |||
| Т 1 | Т 2 | Т 3 | Т 4 | Т 5 | |||
| – | – | 1346138,2 | – | 2594,4 | |||
| b | 0,001927 | ||||||
| Стандартное отклонение воспроизводимости | |||||||
| Итерация 1 | sR 1 | sR 2 | sR 3 | sR 4 | sR 5 | ||
| 0,030345 | 0,023480 | 0,018432 | 0,013169 | 0,009389 | |||
| W 1 | W 2 | W 3 | W 4 | W 5 | |||
| 1085,7 | 1813,8 | 2943,5 | 5766,3 | 11343,3 | |||
| Т 1 | Т 2 | Т 3 | Т 4 | Т 5 | |||
| – | – | 1745264,7 | – | 2919,9 | |||
| b | 0,001673 | ||||||
| Итерация 2 | sR 1 | sR 2 | sR 3 | sR 4 | sR 5 | ||
| 0,032302 | 0,025844 | 0,019380 | 0,012919 | 0,006457 | |||
| W 1 | W 2 | W 3 | W 4 | W 5 | |||
| 958,4 | 1497,2 | 2662,6 | 5991,3 | 23983,7 | |||
| Т 1 | Т 2 | Т 3 | Т 4 | Т 5 | |||
| – | – | 1786276,6 | – | 2988,5 | |||
| b | 0,001673 | ||||||
|
|
|
Рис. 3.1. Графики линейной аппроксимации s = by в случае двух итераций
Для зависимости s = a + by
, (3.13)
. (3.14)
Результаты расчета (3.11) – (3.14) приведены в табл. 3.5 и представлены на рис. 3.2. Итоговым результатом будет
sr = 0,004588 + 0,001474 , sR = 0,004165 + 0,001264 .
3. Исследование данных на совместимость по статистикам Манделя
Чтобы проконтролировать совместимость расхождений в базовых элементах, рассчитывают серию для статистики h по формуле
hij = (Dij – Dj)/ sDj. (3.15)
Для контроля совместимости средних значений в базовых элементах рассчитывают серию для статистики 
по формуле
hij = (yij – yj)/ sij. (3.16)
Значение h -статистики Манделя для 5% уровня значимости составляет 1,89, для 1% уровня значимости – 2,39 (табл. 3.6, 3.7).
Таблица 3.5
Аппроксимация зависимости s = f () прямой линией s = a + by
| Стандартное отклонение повторяемости | ||||||||
| Итерация 1 | sr 1 | sr 2 | sr 3 | sr 4 | sr 5 | |||
| 0,035659 | 0,026666 | 0,021275 | 0,015131 | 0,010662 | ||||
| W 1 | W 2 | W 3 | W 4 | W 5 | ||||
| 786,4 | 1406,4 | 2209,3 | 4367,8 | 8796,3 | ||||
| Т 1 | Т 2 | Т 3 | Т 4 | Т 5 | ||||
| 17566,2 | 130176,7 | 1316635,9 | 272,4 | 2537,5 | ||||
| а | 0,004588 | b | 0,001474 | |||||
| Итерация 2 | sr 1 | sr 2 | sr 3 | sr 4 | sr 5 | |||
| 0,033040 | 0,027351 | 0,021658 | 0,015967 | 0,010275 | ||||
| W 1 | W 2 | W 3 | W 4 | W 5 | ||||
| 916,1 | 1336,7 | 2131,9 | 3922,2 | 9471,3 | ||||
| Т 1 | Т 2 | Т 3 | Т 4 | Т 5 | ||||
| 17778,1 | 129871,1 | 1321436,2 | 272,9 | 2543,2 | ||||
| а | 0,004588 | b | 0,001474 | |||||
| Стандартное отклонение воспроизводимости | ||||||||
| Итерация 1 | sR 1 | sR 2 | sR 3 | sR 4 | sR 5 | |||
| 0,030349 | 0,023480 | 0,018432 | 0,013169 | 0,009389 | ||||
| W 1 | W 2 | W 3 | W 4 | W 5 | ||||
| 1085,7 | 1813,8 | 2943,5 | 5766,3 | 11343,3 | ||||
| Т 1 | Т 2 | Т 3 | Т 4 | Т 5 | ||||
| 22952,6 | 171382,7 | 1745264,7 | 312,2 | 2919,9 | ||||
| а | 0,004165 | b | 0,001264 | |||||
| Итерация 2 | sR 1 | sR 2 | sR 3 | sR 4 | sR 5 | |||
| 0,028570 | 0,023691 | 0,018807 | 0,013926 | 0,009043 | ||||
| W 1 | W 2 | W 3 | W 4 | W 5 | ||||
| 1225,1 | 1781,7 | 2827,2 | 5156,4 | 12227,2 | ||||
| Т 1 | Т 2 | Т 3 | Т 4 | Т 5 | ||||
| 23217,5 | 170931,4 | 1750738,6 | 312,8 | 2925,0 | ||||
| а | 0,004165 | b | 0,001264 | |||||
Расчет статистик Манделя h для средних значений базовых элементов приведен в табл. 3.8, а расхождений в базовых элементах – в табл 3.9.
Для оценки различий лабораторий с точки зрения совместимости полученных данных, их наносят на график в порядке возрастания уровней, сгруппировав по лабораториям, как показано на рис. 3.3 и 3.4.
Интерпретация этих графиков рассмотрена в [1]. Если в лаборатории низкая повторяемость, это будет видно по большим значениям h на графике, построенном по расхождениям в элементах. Если данные лаборатории содержат значительную систематическую погрешность, то это будет видно по значениям h на графике, построенном для средних значений в элементах: большинство из них расположится в одном направлении.
Рис. 3.2. Графики линейной аппроксимации s = a + by в случае двух итераций
Таблица 3.6
Индикаторы для статистик Манделя h и k на 5%-ном уровне значимости
| p | h | k | ||||||||
| n | ||||||||||
 3
| 1,15 | 1,65 | 1,53 | 1,45 | 1,40 | 1,37 | 1,34 | 1,32 | 1,30 | 1,29 |
| 1,42 | 1,76 | 1,59 | 1,50 | 1,44 | 1,40 | 1,37 | 1,35 | 1,33 | 1,31 | |
| 1,57 | 1,81 | 1,62 | 1,53 | 1,46 | 1,42 | 1,39 | 1,36 | 1,34 | 1,32 | |
| 1,66 | 1,85 | 1,64 | 1,54 | 1,48 | 1,43 | 1,40 | 1,37 | 1,35 | 1,33 | |
| 1,71 | 1,87 | 1,66 | 1,55 | 1,49 | 1,44 | 1,41 | 1,38 | 1,36 | 1,34 | |
| 1,75 | 1,88 | 1,67 | 1,56 | 1,50 | 1,45 | 1,41 | 1,38 | 1,36 | 1,34 | |
| 1,78 | 1,90 | 1,68 | 1,57 | 1,50 | 1,45 | 1,42 | 1,39 | 1,36 | 1,35 | |
| 1,80 | 1,90 | 1,68 | 1,57 | 1,50 | 1,46 | 1,42 | 1,39 | 1,37 | 1,35 | |
| 1,82 | 1,91 | 1,69 | 1,58 | 1,51 | 1,46 | 1,42 | 1,39 | 1,37 | 1,35 | |
| 1,83 | 1,92 | 1,69 | 1,58 | 1,51 | 1,46 | 1,42 | 1,40 | 1,37 | 1,35 | |
| 1,84 | 1,92 | 1,69 | 1,58 | 1,51 | 1,46 | 1,43 | 1,40 | 1,37 | 1,35 | |
| 1,85 | 1,92 | 1,70 | 1,59 | 1,52 | 1,47 | 1,43 | 1,40 | 1,37 | 1,35 | |
| 1,86 | 1,93 | 1,70 | 1,59 | 1,52 | 1,47 | 1,43 | 1,40 | 1,38 | 1,36 | |
| 1,86 | 1,93 | 1,70 | 1,59 | 1,52 | 1,47 | 1,43 | 1,40 | 1,38 | 1,36 | |
| 1,87 | 1,93 | 1,70 | 1,59 | 1,52 | 1,47 | 1,43 | 1,40 | 1,38 | 1,36 | |
| 1,88 | 1,93 | 1,71 | 1,59 | 1,52 | 1,47 | 1,43 | 1,40 | 1,38 | 1,36 | |
| 1,88 | 1,93 | 1,71 | 1,59 | 1,52 | 1,47 | 1,43 | 1,40 | 1,38 | 1,36 | |
| 1,89 | 1,94 | 1,71 | 1,59 | 1,52 | 1,47 | 1,43 | 1,40 | 1,38 | 1,36 | |
| 1,89 | 1,94 | 1,71 | 1,60 | 1,52 | 1,47 | 1,44 | 1,41 | 1,38 | 1,36 | |
| 1,89 | 1,94 | 1,71 | 1,60 | 1,52 | 1,47 | 1,44 | 1,41 | 1,38 | 1,36 |
Продолжение табл. 3.6
| p | h | k | ||||||||
| n | ||||||||||
| 1,90 | 1,94 | 1,71 | 1,60 | 1,53 | 1,47 | 1,44 | 1,41 | 1,38 | 1,36 | |
| 1,90 | 1,94 | 1,71 | 1,60 | 1,53 | 1,48 | 1,44 | 1,41 | 1,38 | 1,38 | |
| 1,90 | 1,94 | 1,71 | 1,60 | 1,53 | 1,48 | 1,44 | 1,41 | 1,38 | 1,36 | |
| 1,90 | 1,94 | 1,71 | 1,60 | 1,53 | 1,48 | 1,44 | 1,41 | 1,38 | 1,36 | |
| 1,91 | 1,94 | 1,71 | 1,60 | 1,53 | 1,48 | 1,44 | 1,41 | 1,38 | 1,36 | |
| 1,91 | 1,94 | 1,71 | 1,60 | 1,53 | 1,48 | 1,44 | 1,41 | 1,38 | 1,36 | |
| 1,91 | 1,94 | 1,72 | 1,60 | 1,53 | 1,48 | 1,44 | 1,41 | 1,38 | 1,36 | |
| 1,91 | 1,94 | 1,72 | 1,60 | 1,53 | 1,48 | 1,44 | 1,41 | 1,38 | 1,36 |
Таблица 3.7
Индикаторы для статистик Манделя h и k на 1%-ном уровне значимости
| p | h | k | ||||||||
| n | ||||||||||
 3
| 1,15 | 1,71 | 1,64 | 1,58 | 1,53 | 1,49 | 1,46 | 1,43 | 1,41 | 1,39 |
| 1,49 | 1,91 | 1,77 | 1,67 | 1,60 | 1,55 | 1,51 | 1,48 | 1,45 | 1,43 | |
| 1,72 | 2,05 | 1,85 | 1,73 | 1,65 | 1,59 | 1,55 | 1,51 | 1,48 | 1,46 | |
| 1,87 | 2,14 | 1,90 | 1,77 | 1,68 | 1,62 | 1,57 | 1,53 | 1,50 | 1,47 | |
| 1,98 | 2,20 | 1,94 | 1,79 | 1,70 | 1,63 | 1,58 | 1,54 | 1,51 | 1,48 | |
| 2,06 | 2,25 | 1,97 | 1,81 | 1,71 | 1,65 | 1,59 | 1,55 | 1,52 | 1,49 | |
| 2,13 | 2,29 | 1,99 | 1,82 | 1,73 | 1,66 | 1,60 | 1,56 | 1,53 | 1,50 | |
| 2,18 | 2,32 | 2,00 | 1,84 | 1,74 | 1,66 | 1,61 | 1,57 | 1,53 | 1,50 | |
| 2,22 | 2,34 | 2,01 | 1,85 | 1,74 | 1,67 | 1,62 | 1,57 | 1,54 | 1,51 | |
| 2,25 | 2,36 | 2,02 | 1,85 | 1,75 | 1,68 | 1,62 | 1,58 | 1,54 | 1,51 | |
| 2,27 | 2,38 | 2,03 | 1,86 | 1,76 | 1,68 | 1,63 | 1,58 | 1,55 | 1,52 | |
| 2,30 | 2,39 | 2,04 | 1,87 | 1,76 | 1,69 | 1,63 | 1,58 | 1,55 | 1,52 | |
| 2,32 | 2,41 | 2,05 | 1,87 | 1,76 | 1,69 | 1,63 | 1,59 | 1,55 | 1,52 | |
| 2,33 | 2,42 | 2,05 | 1,88 | 1,77 | 1,69 | 1,63 | 1,59 | 1,55 | 1,52 | |
| 2,35 | 2,44 | 2,06 | 1,88 | 1,77 | 1,69 | 1,64 | 1,59 | 1,55 | 1,52 | |
| 2,36 | 2,44 | 2,06 | 1,88 | 1,77 | 1,70 | 1,64 | 1,59 | 1,56 | 1,52 | |
| 2,37 | 2,44 | 2,07 | 1,89 | 1,78 | 1,70 | 1,64 | 1,59 | 1,56 | 1,53 | |
| 2,39 | 2,45 | 2,07 | 1,89 | 1,78 | 1,70 | 1,64 | 1,60 | 1,56 | 1,53 | |
| 2,39 | 2,46 | 2,07 | 1,89 | 1,78 | 1,70 | 1,64 | 1,60 | 1,56 | 1,53 | |
| 2,40 | 2,46 | 2,08 | 1,90 | 1,78 | 1,70 | 1,65 | 1,60 | 1,56 | 1,53 | |
| 2,41 | 2,47 | 2,08 | 1,90 | 1,78 | 1,71 | 1,65 | 1,60 | 1,56 | 1,53 | |
| 2,42 | 2,47 | 2,08 | 1,90 | 1,79 | 1,71 | 1,65 | 1,60 | 1,56 | 1,53 | |
| 2,42 | 2,47 | 2,08 | 1,90 | 1,79 | 1,71 | 1,65 | 1,60 | 1,56 | 1,53 | |
| 2,43 | 2,48 | 2,09 | 1,90 | 1,79 | 1,71 | 1,65 | 1,60 | 1,56 | 1,53 | |
| 2,44 | 2,48 | 2,09 | 1,90 | 1,79 | 1,71 | 1,65 | 1,60 | 1,56 | 1,53 | |
| 2,44 | 2,49 | 2,09 | 1,91 | 1,79 | 1,71 | 1,65 | 1,60 | 1,57 | 1,53 | |
| 2,45 | 2,49 | 2,09 | 1,91 | 1,79 | 1,71 | 1,65 | 1,60 | 1,57 | 1,53 | |
| 2,45 | 2,49 | 2,10 | 1,91 | 1,79 | 1,71 | 1,65 | 1,61 | 1,57 | 1,53 |
Таблица 3.8
Статистики Манделя h для средних значений в базовых элементах
| № лаборатории | Уровень 1 | Уровень 2 | Уровень 2 | Уровень 3 | Уровень 5 |
| -1,5986 | -1,5723 | -1,7371 | -0,9117 | -0,8041 | |
| -0,1184 | -1,2149 | 0,1408 | -1,5630 | 0,9828 | |
| -0,1184 | -0,1429 | 0,1408 | -0,2605 | 0,0893 | |
| -1,8946* | -1,9296* | -1,7371 | -1,5630 | -0,8041 | |
| 0,4737 | 0,2144 | 0,6103 | 0,3907 | 0,9828 | |
| 0,1776 | -0,1429 | 0,1408 | 0,3907 | 0,9828 | |
| 0,7697 | 0,5717 | 0,6103 | 1,0420 | 0,9828 | |
| -1,3026 | -1,2149 | -0,7981 | -1,5630 | -0,8041 | |
| 0,1776 | 0,2144 | 1,0798 | 0,3907 | -1,6976 | |
| -0,1184 | 1,6437 | 2,0188* | 0,3907 | 0,0893 | |
| -0,4145 | -0,5003 | -0,3286 | -0,2605 | 0,0893 | |
| 0,7697 | 0,5717 | 0,6103 | 1,0420 | 0,9828 | |
| 1,3618 | 1,2864 | 1,5493 | 1,0420 | 0,9828 | |
| 0,1776 | 0,2144 | 0,1408 | 0,3907 | -1,6976 | |
| 1,0657 | 0,2144 | 0,6103 | 0,3907 | 0,0893 | |
| 1,9538* | 0,2144 | -0,7981 | 1,0420 | 0,9828 | |
| -1,5986 | 1,2864 | -1,2676 | -0,9117 | 0,9828 | |
| 0,1776 | -1,2149 | -0,3286 | -1,5630 | -0,8041 | |
| -0,1184 | 0,9291 | -0,7981 | 1,0420 | 0,0893 | |
| 0,1776 | 0,5717 | 0,1408 | 1,0420 | -1,6976 |
Таблица 3.9
Статистики Манделя h для расхождений в базовых элементах
| № лаборатории | Уровень 1 | Уровень 2 | Уровень 2 | Уровень 3 | Уровень 5 |
| 0,5552 | 0,4508 | 0,3324 | 0,7010 | 0,5305 | |
| 0,3569 | -0,3447 | 0,3324 | -0,7010 | 0,5305 | |
| -1,6260 | -1,6706 | -1,6618 | -1,6356 | -1,4590 | |
| -0,8328 | -0,8751 | -0,9971 | -0,7010 | -0,7958 | |
| -1,2294 | -1,4054 | -1,3295 | -1,1683 | -0,7958 | |
| 0,9518 | 0,9812 | 0,9971 | 0,7010 | 0,5305 | |
| 0,9518 | 0,9812 | 0,6647 | 1,1683 | 0,5305 | |
| 1,1501 | 1,2463 | 0,9971 | 1,1683 | 0,5305 | |
| 0,5552 | 0,7160 | -0,3324 | 0,7010 | -1,4590 | |
| 1,9433* | 0,7160 | 0,3324 | -1,1683 | 1,1937 | |
| -1,0311 | -0,8751 | -1,3295 | -0,7010 | -1,4590 | |
| -0,6345 | -0,6099 | -0,6647 | -0,7010 | -0,7958 | |
| 0,9518 | 0,9812 | 0,6647 | 1,1683 | 0,5305 | |
| -0,2380 | -0,3447 | -0,3324 | -0,2337 | 1,1937 | |
| -0,8328 | -1,4054 | -1,3295 | 1,6356 | -1,4590 | |
| -0,2380 | -0,3447 | 0,3324 | -0,7010 | -0,7958 | |
| 0,5552 | 0,9812 | -0,6647 | 0,7010 | 0,5305 | |
| 0,5552 | 0,7160 | 1,3295 | -0,7010 | 0,5305 | |
| -1,6260 | 1,2463 | 1,6618 | -0,7010 | 1,1937 | |
| -0,2380 | -1,1403 | 0,9971 | 1,1683 | 1,1937 |
Рис. 3.3. Диаграмма статистики Манделя h для средних значений в базовых элементах
Рис. 3.4. Диаграмма статистики Манделя h для расхождений в базовых элементах
Таким образом по рис. 3.3 можно определить лаборатории, имеющие значительную систематическую погрешность (3 – 8, 11, 13), а по рис. 3.4 – лаборатории, имеющие низкую прецизионность измерений (4, 10, 16), а также наличие квазивыбросов.
4. Исследование данных на совместимость по статистикам Граббса
В табл. 3.10 приведены критические значения статистик Граббса [1].
Таблица 3.10
Критические значения статистик Граббса
| p | Одно наибольшее или одно наименьшее | Два наибольших или два наименьших | ||
| Свыше 1% | Свыше 5% | Свыше 1% | Свыше 5% | |
| 1,155 | 1,155 | – | – | |
| 1,496 | 1,481 | 0,0000 | 0,0002 | |
| 1,764 | 1,715 | 0,0018 | 0,0090 | |
| 1,973 | 1,887 | 0,0116 | 0,0349 | |
| 2,139 | 2,020 | 0,0308 | 0,0708 | |
| 2,274 | 2,126 | 0,0563 | 0,1101 | |
| 2,387 | 2,215 | 0,0851 | 0,1492 | |
| 2,482 | 2,290 | 0,1150 | 0,1864 | |
| 2,564 | 2,355 | 0,1448 | 0,2213 | |
| 2,636 | 2,412 | 0,1738 | 0,2537 | |
| 2,699 | 2,462 | 0,2016 | 0,2836 | |
| 2,755 | 2,507 | 0,2280 | 0,3112 | |
| 2,806 | 2,549 | 0,2530 | 0,3367 | |
| 2,852 | 2,585 | 0,2767 | 0,3603 | |
| 2,894 | 2,620 | 0,2990 | 0,3822 | |
| 2,932 | 2,651 | 0,3200 | 0,4025 | |
| 2,968 | 2,681 | 0,3398 | 0,4214 | |
 20
| 3,001 | 2,709 | 0,3585 | 0,4391 |
| 3,031 | 2,733 | 0,3761 | 0,4556 | |
| 3,060 | 2,758 | 0,3927 | 0,4711 | |
| 3,087 | 2,781 | 0,4085 | 0,4857 | |
| 3,112 | 2,802 | 0,4234 | 0,4994 | |
| 3,135 | 2,822 | 0,4376 | 0,5123 | |
| 3,157 | 2,841 | 0,4510 | 0,5245 | |
| 3,178 | 2,859 | 0,4638 | 0,5360 | |
| 3,199 | 2,876 | 0,4759 | 0,5470 | |
| 3,218 | 2,893 | 0,4875 | 0,5574 | |
| 3,236 | 2,908 | 0,4985 | 0,5672 | |
| 3,253 | 2,924 | 0,5091 | 0,5766 | |
| 3,270 | 2,938 | 0,5192 | 0,5856 | |
| 3,286 | 2,952 | 0,5288 | 0,5941 | |
| 3,301 | 2,965 | 0,5381 | 0,6023 | |
| 3,316 | 2,979 | 0,5469 | 0,6101 | |
| 3,330 | 2,991 | 0,5554 | 0,6175 | |
| 3,343 | 3,003 | 0,5636 | 0,6247 | |
| 3,356 | 3,014 | 0,5714 | 0,6316 | |
| 3,369 | 3,025 | 0,5789 | 0,6382 | |
| 3,381 | 3,036 | 0,5862 | 0,6445 |
Тестирование по критерию Граббса используют для идентификации результатов, которые настолько не соответствуют остальным данным эксперимента, что в случае их включения в расчеты стандартных отклонений повторяемости и воспроизводимости они окажут существенное влияние на значения этих статистик. Обычно данные, идентифицированные как выбросы, исключают из расчетов, а данные, идентифицированные как квазивыбросы, включают в расчеты, если не имеется серьезных оснований для принятия других решений.
Для тестовой проверки на один выброс используют выражения
, 
. (3.17)
Результаты расчета идентифицируют следующим образом:
a) в случае, если значение тестовой статистики меньше (или равно) 5%-ного критического значения, тестируемую позицию признают корректной;
б) в случае, если значение тестовой статистики больше 5%-ного критического значения и меньше (или равно) 1%-ного критического значения, тестируемую позицию называют квазивыбросом и отмечают одной звездочкой.
в) в случае, если значение тестовой статистики больше 1%-ного критического значения, тестируемую позицию называют статистическим выбросом и отмечают двумя звездочками.
Чтобы проверить, могут ли два наибольших результата наблюдений быть выбросами, вычисляют статистику Граббса для двух выбросов
, (3.18)
где
, 
, 
.
Соответственно, чтобы проверить два наименьших результата наблюдений, вычисляют статистику Граббса.
, (3.19)
где
, 
.
Статистики Граббса для средних значений базовых элементов приведены в табл. 3.11, статистики Граббса для расхождений в базовых элементах приведены в табл. 3.12.
Таблица 3.11
Статистика Граббса для средних значений в базовых элементах
| Уровень | Статистика Граббса | |||
| Одно наименьшее | Два наименьших | Два наибольших | Одно наибольшее | |
| 1,8946 | 0,6409** | 0,6693** | 1,9538 | |
| 1,9296 | 0,6381** | 0,7456** | 1,6437 | |
| 1,7371 | 0,6471** | 0,6219** | 2,0188 | |
| 1,5630 | 0,7143** | 0,8730** | 1,0420 | |
| 1,6976 | 0,6629** | 0,8870** | 0,9828 |
Таблица 3.12
Статистика Граббса для расхождений в базовых элементах
| Уровень | Статистика Граббса | |||
| Одно наименьшее | Два наименьших | Два наибольших | Одно наибольшее | |
| 1,6260 | 0,6908** | 0,7036** | 1,9433 | |
| 1,6706 | 0,7215** | 0,8183** | 1,2463 | |
| 1,6618 | 0,7355** | 0,7355** | 1,6618 | |
| 1,6356 | 0,7644** | 0,7644** | 1,6356 | |
| 1,4590 | 0,7510** | 0,8333** | 1,1937 |
Поскольку статистика Граббса для одного выброса не выявила выбросов как для средних значений, так и для расхождений в базовых элементах, то необходимо применять статистику Граббса для двух выбросов. В результате на каждом уровне измерений обнаружены по два выброса сверху и два выброса снизу.
Содержание отчета
1. Расчет статистических характеристик средних значений и расхождений в базовых элементах.
2. Расчет зависимости стандартных отклонений повторяемости и воспроизводимости от средних значений результатов измерений.
3. Расчет статистик Манделя h.
4. Расчет статистик Граббса.
5. Выводы
Контрольные вопросы
1. Назовите область применения стандартов ГОСТ Р ИСО 5725.
2. С какой целью наряду с основным методом определения правильности и прецизионности разработаны и используюся альтернативные методы?
3. Какие требования предъявляются к образцам в эксперименте с разделенными уровнями?
4. Каким образом определяют число лабораторий, привлекаемых к эксперименту с разделенными уровнями?
5. Вследствие чего возникает систематическая погрешность в эксперименте с разделенными уровнями? Каким методом можно ее уменьшить?
6. Чем отличается статистическая модель эксперимента с разделенными уровнями от основной статистической модели, применяемой стандартами ГОСТ Р ИСО 5725?
7. Как рассчитывают среднее значение и стандартное отклонение расхождений в базовых элементах?
8. Чем отличаются стандартные отклонения расхождений и средних значений?
9. Какими формулами связаны стандартные отклонения повторяемости и воспроизводимости, с одной стороны, и среднение значения расхождений и результатов измерений?
10. Каким образом определяют зависимость стандартных отклонений повторяемости и воспроизводимости от средних значений результатов измерений?
11. Напишите формулы для определения несогласованности в данных с помощью статистики Манделя h как для средних значений, так и для расхождений.
12. Напишите формулы для определения несогласованности в данных с помощью статистики Граббсадля одного выброса сверху и снизу как для средних значений, так и для расхождений.
13. Напишите формулы для определения несогласованности в данных с помощью статистики Граббсадля двух выбросов сверху и снизу как для средних значений, так и для расхождений.
14. Каким образом с помощью графического изображения статистики Манделя h можно судить о наличии систематических погрешностей в лаборатории?
15. Каким образом с помощью графического изображения статистики Манделя h можно судить о повторяемости результатов измерений в лаборатории?
16. Каким образом можно построить столбчатую диаграмму статистики Манделя h с разделением данных по уровням и по лабораториям?
17. Каким образом определяют выброс и квазивыброс с помощью статистики Граббса?
18. Каким образом определяют выброс и квазивыброс с помощью статистики Манделя h?
19. Какая из статистик Манделя (h или k) является внутрилабораторной?
