Приведение двух параллельных сил

Лекция 4. Центр тяжести.

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы

1. Центр тяжести твердого тела.

2. Координаты центров тяжести неоднородных тел.

3. Координаты центров тяжести однородных тел.

4. Способы определения координат центров тяжести.

5. Центры тяжести некоторых однородных тел.

Изучение данных вопросов необходимо в дальнейшем для изучения динамики движении тел с учетом трения скольжения и трения качения, динамики движения центра масс механической системы, кинетических моментов, для решения задач в дисциплине «Сопротивление материалов».

Приведение параллельных сил.

После того как было рассмотрено приведение к центру плоской системы и произвольной пространственной системы сил, мы опять возвращаемся к рассмотрению частного случая системы параллельных сил.

Приведение двух параллельных сил.

В ходе рассмотрения такой системы сил возможны три следующих случая приведения.

1. Система двух коллинеарных сил. Рассмотрим систему двух параллельных и направленных в одну сторону сил P и Q, приложенных в точках А и В. Будем считать, что силы перпендикулярны к этому отрезку (рис.1, а).

Выберем в качестве центра приведения точку С, принадлежащую отрезку АВ и удовлетворяющую условию:

АС / СВ = Q / P. (1)

Главный вектор системы R_C = P + Q по модулю равен сумме этих сил: R_C = P + Q.

Главный момент относительно центра С с учетом (1) равен нулю: M_C = P ∙ АС - Q ∙ СВ = 0.

Таким образом, в результате приведения мы получили: R_C ≠ 0, M_C = 0. Это означает, что главный вектор эквивалентен равнодействующей, проходящей через центр приведения, то есть:

Равнодействующая коллинеарных сил равна по модулю их сумме, а ее линия действия делит отрезок, соединяющий точки их приложения, обратно пропорционально модулям этих сил внутренним образом.

Отметим, что положение точки С не изменится, если силы Р и Q повернуть на угол α. Точка С, обладающая таким свойством называется центром параллельных сил.

2. Система двух антиколлинеарных и не равных по модулю сил. Пусть силы P и Q, приложенные в точках А и В, параллельны, направлены в противоположные стороны и по модулю не равны (рис.1, б).

Выберем в качестве центра приведения точку С, удовлетворяющую по-прежнему соотношению (1) и лежащую на той же прямой, но за пределами отрезка АВ.

Главный вектор этой системы R_C = P + Q по модулю теперь будет равен разности модулей векторов: R_C = Q - P.

Главный момент относительно центра С по-прежнему равен нулю: M_C = P ∙ АС - Q ∙ СВ = 0, поэтому

Равнодействующая антиколлинеарных и не равных по модулю сил равна их разности, направлена в сторону большей силы, а ее линия действия делит отрезок, соединяющий точки их приложения, обратно пропорционально модулям этих сил внешним образом.

Рис.1

3. Система двух антиколлинеарных и равных по модулю сил. Возьмем за исходный предыдущий случай приведения. Зафиксируем силу Р, а силу Q устремим по модулю к силе Р.

Тогда при Q → Р в формуле (1) отношение АС / СВ → 1. Это означает, что АС → СВ, то есть расстояние АС →∞.

При этом модуль главного вектора R_C → 0, а модуль главного момента не зависит от положения центра приведения и остается равным первоначальному значению:

M_C = P ∙ АС - Q ∙ СВ = P ∙(АС - СВ) = P ∙ АB.

Итак, в пределе мы получили систему сил, для которой R_C = 0, M_C ≠0, а центр приведения удален в бесконечность, которую нельзя заменить равнодействующей. В этой системе нетрудно узнать пару сил, поэтому пара сил равнодействующей не имеет.