Равнодействующая, центр параллельных сил, центр тяжести

Воздействия (силы и моменты) характеризуются главным вектором сил и главным моментом относительно произвольной опорной точки. Запишем формулу, связывающую моменты относительно двух точек – опорной точки и так называемой точки приведения

. (2.9)

Если есть такая точка приведения , относительно которой главный момент равен нулю, то говорят, что система приводится к равнодействующей, приложенной в точке приведения. Из формулы(2.9) следует,что приведение к равнодействующей возможно, только если главный момент и главный вектор перпендикулярны. При этом множество точек приведения к равнодействующей находятся на прямой, уравнение которой найдем, умножив векторно формулу на вектор (рис. 2.8a):

, (2.10)

где произвольный параметр.

Рассмотрим систему параллельных сил где проекция на направление, задаваемое ортом . Главный вектор и главный момент перпендикулярны, поэтому система приводится к равнодействующей.

Рис. 2.8. Центр параллельных сил (а) и центр тяжести (б)

⦁ P

а)

б)

Покажем, что в этом случае на прямой (2.10) существует такая точка приведения

, называемая центром параллельных сил, положение которой не

изменяется при повороте всех сил на произвольный угол (точки приложения сил не изменяются).

Подставляя выражения и в (2.10) и раскрывая двойное векторное произведение, получим

Чтобы это выражение не зависело от направления сил (вектора ), надо принять и вектор положения центра параллельных сил:

.(2.11)

Частный случай параллельных сил – силы тяжести, действующие на точки тела. Если тело небольшого размера, то можно пренебречь различием в направлении сил (к центру Земли) и различиями в величине сил ввиду разного расстояния до центра Земли. Тогда центр тяжести совпадает с центром масс

Оценим различие в положениях центра масс и центра тяжести «высокого» тела, например, небоскреба (рис 2.8,б). Обозначим линейная плотность массы. Сила тяжести, действующая на элемент массы равна , где ускорение на поверхности Земли.