Способы определения координат центра тяжести

Исходя из полученных выше общих формул, можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел.

1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии (рис.7), то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

Рис.7

2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей (рис.8), для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.

Рис.8

S=S₁+S₂.

3. Метод отрицательных площадей. Частный случай способа разбиения (рис.9). Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки (без выреза) с площадью S₁ и площади вырезанной части S₂ .

Рис.9

S=S₁-S₂.

4. Метод группировки. Является хорошим дополнением двух последних методов. После разбиения фигуры на составные элементы часть их бывает удобно объединить вновь, чтобы затем упростить решение путем учета симметрии этой группы.

Центры тяжести некоторых одно­родных тел.

1) Центр тяжести дуги окруж­ности. Рассмотрим дугу АВ радиуса R с центральным углом . В силу сим­метрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ox (рис. 10).

Рис.10

Найдем координату по формуле . Для этого выделим на дуге АВ элемент ММ’ длиною , положение которого определяется углом . Координата х элемента ММ’ будет . Подставляя эти значения х и d l и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим:

где L - длина дуги АВ, равная .

Отсюда окончательно нахо­дим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О, равном

где угол измеряется в радианах.

2) Центр тяжести площади тре­угольника. Рассмотрим треугольник, лежащий в плоскости Oxy, координаты вершин которого известны: A_i (x_i, y_i), (i = 1,2,3). Разбивая треугольник на узкие полоски, параллельные стороне А ₁ А ₂ , придем к выводу, что центр тяжести треугольника должен принадлежать медиане А ₃ М ₃ (рис.11)_.

Рис.11

Разбивая треугольник на полоски, параллельные стороне А ₂ А ₃, можно убедиться, что он должен лежать на медиане А ₁ М ₁. Таким образом, центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан, которая, как известно, отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.

В частности, для медианы А ₁ М ₁ получим, учитывая, что координаты точки М ₁ - это среднее арифметическое координат вершин А ₂ и А ₃ :

x_c = x ₁ + (2/3)?(x_{М 1} - x ₁) = x ₁ + (2/3)?[(x ₂ + x ₃)/2- x ₁] = (x ₁+ x ₂ + x ₃)/3.

Таким образом, координаты центра тяжести треугольника представляют собой среднее арифметическое из координат его вершин:

x _c =(1/3)Σ x_i; y _c =(1/3)Σ y_i.

3) Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим сектор круга радиуса R с центральным углом 2α, расположенный симметрично относительно оси Ox (рис.12).

Очевидно, что y _c = 0, а расстояние от центра круга, из которого вырезан этот сектор, до его центра тяжести можно определить по формуле:

Рис.12

Проще всего этот интеграл вычислить, разбивая область интегрирования на элементарные секторы с углом d φ. С точностью до бесконечно малых первого порядка такой сектор можно заменить треугольником с основанием, равным R × d φ и высотой R. Площадь такого треугольника dF =(1/2) R ²? d φ, а его центр тяжести находится на расстоянии 2/3 R от вершины, поэтому в (5) положим x = (2/3) R?cosφ. Подставляя в (5) F = α R ², получим:

С помощью последней формулы вычислим, в частности, расстояние до центра тяжести полукруга.

Подставляя в (2) α = π/2, получим: x _c = (4 R)/(3π) ≅ 0,4 R.

Пример 1. Определим центр тяжести однородного тела, изображён­ного на рис. 13.

Рис.13

Тело однородное, состоящее из двух частей, имеющих симметричную форму. Координаты центров тяжести их:

Объёмы их:

Поэтому координаты центра тяжести тела

Пример 2. Найдем центр тяжести пластины, согнутой под прямым углом. Размеры – на чертеже (рис.14).

Рис.14

Координаты центров тяжести:

0.

Площади:

Поэтому:

Рис. 6.5.

Пример 3. У квадратного листа см вырезано квадратное отверстие см (рис.15). Найдем центр тяжести листа.

Рис.15

В этой задаче удобнее разделить тело на две части: большой квадрат и квадратное отверстие. Только площадь отверстия надо считать отрицательной. Тогда координаты центра тяжести листа с отверстием:

координата так как тело имеет ось симметрии (диагональ).

Пример 4. Проволочная скобка (рис.16) состоит из трёх участков оди­наковой длины l.

Рис.16

Координаты центров тяжести участ­ков:

Поэтому координаты центра тяжести всей скобки:

Пример 5. Определить положение центра тяжести фермы, все стержни которой имеют одинаковую погонную плотность (рис.17).

Напомним, что в физике плотность тела ρ и его удельный вес g связаны соотношением: γ= ρ g, где g - ускорение свободного падения. Чтобы найти массу такого однородного тела, нужно плотность умножить на его объем.

Рис.17

Термин «линейная» или «погонная» плотность означает, что для определения массы стержня фермы нужно погонную плотность умножить на длину этого стержня.

Для решения задачи можно воспользоваться методом разбиения. Представив заданную ферму в виде суммы 6 отдельных стержней, получим:

где L_i длина i -го стержня фермы, а x_i, y_i - координаты его центра тяжести.

Решение этой задачи можно упростить, если сгруппировать 5 последних стержней фермы. Нетрудно видеть, что они образуют фигуру, имеющую центр симметрии, расположенный посредине четвертого стержня, где и находится центр тяжести этой группы стержней.

Таким образом, заданную ферму можно представить комбинацией всего двух групп стержней.

Первая группа состоит из первого стержня, для нее L ₁ = 4 м, x ₁ = 0 м, y ₁= 2 м. Вторая группа стержней состоит из пяти стержней, для нее L ₂ = 20 м, x ₂= 3 м, y ₂= 2 м.

Координаты центра тяжести фермы находим по формуле:

x _c = (L ₁? x ₁ + L ₂? x ₂)/(L ₁+ L ₂) = (4?0 + 20?3)/24 = 5/2 м;

y _c = (L ₁? y ₁ + L ₂? y ₂)/(L ₁+ L ₂) = (4?2 + 20?2)/24 = 2 м.

Отметим, что центр С лежит на прямой, соединяющей С ₁ и С ₂ и делит отрезок С ₁ С ₂ в отношении: С ₁ С / СС ₂ = (x _c - x ₁)/(x ₂ - x _c) = L ₂ / L ₁ = 2,5/0,5.

Вопросы для самопроверки

- Что называется центром параллельных сил?

- Как определяются координаты центра параллельных сил?

- Как определить центр параллельных сил, равнодействующая которых равна нулю?

- Каким свойством обладает центр параллельных сил?

- По каким формулам вычисляются координаты центра параллельных сил?

- Что называется центром тяжести тела?

- Почему силы притяжения Земле, действующие на точку тела, можно принять за систему параллельных сил?

- Запишите формулу для определения положения центра тяжести неоднородных и однородных тел, формулу для определения положения центра тяжести плоских сечений?

- Запишите формулу для определения положения центра тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции и половины круга?

- Что называют статическим моментом площади?

- Приведите пример тела, центр тяжести которого расположен вне тела.

- Как используются свойства симметрии при определении центров тяжести тел?

- В чем состоит сущность способа отрицательных весов?

- Где расположен центр тяжести дуги окружности?

- Каким графическим построением можно найти центр тяжести треугольника?

- Запишите формулу, определяющую центр тяжести кругового сектора.

- Используя формулы, определяющие центры тяжести треугольника и кругового сектора, выведите аналогичную формулу для кругового сегмента.

- По каким формулам вычисляются координаты центров тяжести однородных тел, плоских фигур и линий?

- Что называется статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси, как он вычисляется и какую размерность имеет?

- Как определить положение центра тяжести площади, если известно положение центров тяжести отдельных ее частей?

- Какими вспомогательными теоремами пользуются при определении положения центра тяжести?