Задача Д4

Вертикальный вал АК (рис. Д4.0-Д4.9, табл. Д4), вращающийся с постоянной угловой скоростью ω = 10 с^-1, закреплен подпятником в точке А и цилиндрическим подшипником в точке, указанной в табл. Д4 в столбце 2 (АВ=BD = DE = EK = b). К валу жестко прикреплены невесомый стержень l длиной l ₁ = 0,4 м с точечной массой т ₁ = 6 кг на конце и однородный стержень 2 длиной l ₂ = 0,6 м, имеющий массу m ₂ = 4 кг; оба стержня лежат в одной плоскости. Точки крепления стержней к ва­лу указаны в таблице в столбцах 3 и 4, а углы а и β - в столбцах 5 и 6.

Пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника и подшипника. При окончательных подсчетах принять b = 0,4 м.

Указания. Задача Д4 - на применение к изучению движения системы принципа Даламбера. При решении задачи учесть, что когда силы инерции частиц тела (в данной задаче стержня 2) имеют равнодействующую , то численно R ^и= та _С, где а_С - ускорение центра масс С стержня, но линия действия силы в общем случае не проходит через точку С (см. пример Д4).

Пример Д4. С невесомым валом АВ, вращающимся с постоянной угловой скоростью ω, жестко скреплен стержень OD длиной l и

массой m ₁, имеющий на конце груз массой m _2.

рис. Д4.

Дано: b ₁= 0,6 м, b ₂= 0,2 м, α = 30°, l = 0,5 м, m ₁ = 3 кг, m ₂ = 2 кг, ω =6c^-1. Определить: реакции подпятника А и подшипника В.

Решение. Для определения искомых реакций рассмотрим движение механической системы, состоящей из вала А В, стержня OD и груза, и применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом оси
Аху так, чтобы стержень лежал в плоскости ху, и изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести , , составляющие , реакции подпятника и реакцию подшипника.

Согласно принципу Даламбера присоединим к этим силам силы инерции элементов стержня и груза, считая груз материальной точкой. Так как вал вращается равномерно (ω =const), то элементы стержня имеют только нормальные ускорения , направленные к оси вращения, а численно , где h _k- расстояние элемента от оси. Тогда силы инерции будут направлены от оси вращения и численно , где - масса элемента. Поскольку все пропорциональны h _k, то эпюра этих параллельных сил образует треугольник и их можно заменить равнодействующей , линия действия которой проходит через центр тяжести этого треугольника, т.е. на расстоянии H ₁ от вершины О, где (Н ₂ = l cosα).

Таблица Д4

Номер условия	Подшипник в точке	Крепление	α 0	β 0	Номер условия	Подшипник в точке	Крепление	α 0	β 0
стержня 1 в точке	стержня 2 в точке	стержня 1 в точке	стержня 2 в точке
	2
	В	D	К				D	K	B
	D	В	Ε				Ε	В	К
	Ε	D	В				К	Ε	В
	К	D	Ε				D	Ε	К
	В	Ε	D				Ε	К	D

Но, как известно, равнодействующая любой системы сил равна ее главному вектору, а численно главный вектор сил инерции стержня , где a_C - ускорение центра масс стержня; при этом, как и для любого элемента стержня, (OC = l /2). В ре­зультате получим

=13,5H.

Аналогично для силы инерции груза найдем, что она тоже направлена от оси вращения, а численно = 18 Н.

Так как все действующие силы и силы инерции лежат в плоскости ху, то и реакции подпятника А и подшипника В тоже лежат в этой плоскости, что было учтено при их изображении.

По принципу Даламбера, приложенные внешние силы и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составляя для этой плоской системы сил три уравнения равновесия, получим:

= 0; = 0, (1)

= 0; Y_A -P₁-P₂ =0, (2)

= 0; = 0. (3)

Подставив сюда числовые значения всех заданных и вычисленных величин и решив эту систему уравнений, найдем искомые реакции.

Ответ: X_A =-11,8 Н, Y_A = 49,1 Η, Χ_B = -19,7 Η.

Знаки указывают, что силы и направлены противоположно показанным на рис. Д4.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Воронков И.М. Курс теоретической механики. - М.: Наука, 1974.

2. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики: В 2-х т. – М.: Наука, 1989.

3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. - М.: Наука, 1984.

4. Добронравов В.В., Никитин Н.Н., Дворников А.Л. Курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 1974.

5. Мещерский И.В.Сборник задач по теоретической механике. - М.: Наука, 1981.

6. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учеб. пособие для техн. вузов /Яблонский А.А., Норейко С.С., Вольфсон С.А. и др. – М.: Высш. школа, 1985.