2015-10-13
1337
Вертикальный вал АК (рис. Д4.0-Д4.9, табл. Д4), вращающийся с постоянной угловой скоростью ω = 10 с-1, закреплен подпятником в точке А и цилиндрическим подшипником в точке, указанной в табл. Д4 в столбце 2 (АВ=BD = DE = EK = b). К валу жестко прикреплены невесомый стержень l длиной l 1 = 0,4 м с точечной массой т 1 = 6 кг на конце и однородный стержень 2 длиной l 2 = 0,6 м, имеющий массу m 2 = 4 кг; оба стержня лежат в одной плоскости. Точки крепления стержней к валу указаны в таблице в столбцах 3 и 4, а углы а и β - в столбцах 5 и 6.
Пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника и подшипника. При окончательных подсчетах принять b = 0,4 м.
Указания. Задача Д4 - на применение к изучению движения системы принципа Даламбера. При решении задачи учесть, что когда силы инерции частиц тела (в данной задаче стержня 2) имеют равнодействующую 
, то численно R и= та С, где аС - ускорение центра масс С стержня, но линия действия силы в общем случае не проходит через точку С (см. пример Д4).
Пример Д4. С невесомым валом АВ, вращающимся с постоянной угловой скоростью ω, жестко скреплен стержень OD длиной l и
массой m 1, имеющий на конце груз массой m 2.
рис. Д4.
Дано: b 1= 0,6 м, b 2= 0,2 м, α = 30°, l = 0,5 м, m 1 = 3 кг, m 2 = 2 кг, ω =6c-1. Определить: реакции подпятника А и подшипника В.
Решение. Для определения искомых реакций рассмотрим движение механической системы, состоящей из вала А В, стержня OD и груза, и применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом оси
Аху так, чтобы стержень лежал в плоскости ху, и изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести 
, 
, составляющие 
, 
реакции подпятника и реакцию 
подшипника.
Согласно принципу Даламбера присоединим к этим силам силы инерции элементов стержня и груза, считая груз материальной точкой. Так как вал вращается равномерно (ω =const), то элементы стержня имеют только нормальные ускорения 
, направленные к оси вращения, а численно 
, где h k- расстояние элемента от оси. Тогда силы инерции 
будут направлены от оси вращения и численно 
, где 
- масса элемента. Поскольку все пропорциональны h k, то эпюра этих параллельных сил образует треугольник и их можно заменить равнодействующей 
, линия действия которой проходит через центр тяжести этого треугольника, т.е. на расстоянии H 1 от вершины О, где 
(Н 2 = l cosα).
Таблица Д4
| Номер условия | Подшипник в точке | Крепление | α 0 | β 0 | Номер условия | Подшипник в точке | Крепление | α 0 | β 0 | ||
| стержня 1 в точке | стержня 2 в точке | стержня 1 в точке | стержня 2 в точке | ||||||||
| 2 | |||||||||||
| В | D | К | D | K | B | ||||||
| D | В | Ε | Ε | В | К | ||||||
| Ε | D | В | К | Ε | В | ||||||
| К | D | Ε | D | Ε | К | ||||||
| В | Ε | D | Ε | К | D |
Но, как известно, равнодействующая любой системы сил равна ее главному вектору, а численно главный вектор сил инерции стержня 
, где aC - ускорение центра масс стержня; при этом, как и для любого элемента стержня, 
(OC = l /2). В результате получим
=13,5H.
Аналогично для силы инерции 
груза найдем, что она тоже направлена от оси вращения, а численно 
= 18 Н.
Так как все действующие силы и силы инерции лежат в плоскости ху, то и реакции подпятника А и подшипника В тоже лежат в этой плоскости, что было учтено при их изображении.
По принципу Даламбера, приложенные внешние силы и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составляя для этой плоской системы сил три уравнения равновесия, получим:
= 0; 
= 0, (1)
= 0; YA -P1-P2 =0, (2)
= 0; 
= 0. (3)
Подставив сюда числовые значения всех заданных и вычисленных величин и решив эту систему уравнений, найдем искомые реакции.
Ответ: XA =-11,8 Н, YA = 49,1 Η, ΧB = -19,7 Η.
Знаки указывают, что силы и направлены противоположно показанным на рис. Д4.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Воронков И.М. Курс теоретической механики. - М.: Наука, 1974.
2. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики: В 2-х т. – М.: Наука, 1989.
3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. - М.: Наука, 1984.
4. Добронравов В.В., Никитин Н.Н., Дворников А.Л. Курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 1974.
5. Мещерский И.В.Сборник задач по теоретической механике. - М.: Наука, 1981.
6. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учеб. пособие для техн. вузов /Яблонский А.А., Норейко С.С., Вольфсон С.А. и др. – М.: Высш. школа, 1985.
