Задача 1

Однородная балка массой m жёстко заделана в вертикальную стену. Длина балки L. Вес балки P. К концу балки закреплена нить, переброшенная через неподвижный блок. На нити закреплён груз весом P. Угол наклона нити к горизонту α. Определить реакции, возникающие в жёсткой заделке.

Будем решать это простейшую задачу строго следуя выше изложенной методике.

Поскольку условие нам понятно а эскиз уже готов, начнём с пункта 3 и приложим активные нагрузки. Они представлены двумя силами - сила тяжести балки G и весом груза P. Ясно что вес груза натягивает нить, которая в свою очередь воздействует на балку силой T=P. Обозначим на рисунке активные силы зелёным цветом.

Поскольку в задаче требуется найти реакции в жёсткой заделке (точка А) будем рассматривать равновесие балки. В ведём систему координат XY.

Заменим действие жёсткой заделки на балку реакциями Rx, Ry и реактивный момент М.

Таким образом мы получаем плоскую произвольную систему сил, приложенных к выбранному нами объекту равновесия - балке.

Для такой системы сил можно составить три уравнения равновесия.

Сумма проекций всех сил на координатную ось Х:

Сумма проекций всех сил на координатную ось Y:

Сумма моментов относительно точки А. Эту точку выбираем для составления суммы моментов потому, что в ней пересекаются две неизвестные силы Rx и Ry:

Поскольку в полученной системе из трёх уравнений содержится четыре неизвестных записываем четвёртое уравнение, известное нам из курса физики (g - ускорение свободного падения):

Для нахождения неизвестных достаточно решить полученную систему уравнений, что с точки зрения алгебры не представляет никакой сложности.

21. Однородный стержень ОА упирается одним концом в угол и удерживается за другой конец нитью (рис.). Масса стержня m, а угол его наклона к горизонту равен α. Найти силу натяжения нити, а также силы, с которыми стержень давит на пол и на стену.

Решение.
На стержень действуют четыре силы: сила тяжести mg, сила натяжения нити Т, силы нормальных реакций пола N₁ и стены N₂.
Так как стержень находится в равновесии, то

mg + T + N₁ + N₂ = 0. (векторно)

Суммы проекций этих сил на оси ОХ и OY равны нулю:

N₂ − Tsinα = 0, (1)

N₁ − mg + Tcosα = 0. (2)

Составим уравнение для моментов сил относительно оси, проходящей через точку А:

(1/2)mglcosα − Tl = 0,

где l − длина стержня.
Из этого уравнения найдем

T = (1/2)mgcosα.

Подставим это значение в уравнения (1) и (2):

N₂ = mgsin2α, N₁ = mg(1 + sin²α)/2.

Согласно третьему закону Ньютона, с такими по модулю силами давит стержень на стену и пол.

22. Однородный стержень АВ прикреплен к вертикальной стене посредством шарнира А и удерживается под углом α = 60° к вертикали с помощью невесомой веревки ВС, образующей с ним угол β = 30° (рис.). Определить силу натяжения веревки, а также модуль и направление силы реакции шарнира, если известно, что масса стержня m = 2,0 кг.

Решение.
На стержень действуют следующие силы: сила тяжести mg, приложенная к середине стержня и направленная вертикально вниз; сила натяжения веревки Т, приложенная в точке В и направленная вдоль веревки; сила реакции шарнира N. Модуль и направление силы N неизвестны, поэтому на рисунке она не показана.
Запишем условие равновесия в векторной форме:

mg + T + N = 0,

а затем в проекциях на оси ОХ и OY:

N_x − Tsin(α − β) = 0, (1)

N_y − mg + Tcos(α + β) = 0. (2)

Составим уравнение для моментов сил относительно оси, проходящей через точку А:

(l/2)mgsinα − Tlsinβ = 0, (3)

где l − длина стержня.
Из уравнений (1) и (2) найдем:

N_x = Tsin(α − β), N_y = mg − Tcos(α − β).

Модуль силы N

N = √{N_x² + N_y²} = √{(Tsin(α − β))² + (mg − Tcos(α − β))²} = √{T² + m²g² − 2mgTcos(α − β)}. (4)

Из уравнения (3) следует:

T = mgsinα/(2sinβ), T = 17 H.

Подставив полученное выражение Т в формулу (4), после преобразований и вычислений получим:

N = mg√{1 + sin²α/(4sin²β) − sinαcos(α − β)/sinb}, N = 9,8 H.

Направление вектора N определяется углом γ, который этот вектор составляет с осью ОХ. По значениям проекций N_x и N_y найдем

tgγ = N_x/N_y = (mg − Tcos(α − β))/(Tsin(α − β)).

Подставив сюда

Т = mgsinα/(2sinβ),

получим после преобразований:

tgγ = (2sinβ − sinαcos(α − β))/(sinαsin(α − β)), tgγ = √3/3, γ = 30°.

23. Лестница опирается одним концом о вертикальную гладкую стену, а другим − о землю. Коэффициент трения лестницы о землю μ = 0,4. Центр тяжести лестницы находится на ее середине. Определить наименьший угол α, который лестница может образовать с горизонтом, не соскальзывая.

Решение.
На лестницу действуют сила тяжести mg, силы нормальных реакций N₁ и N₂ стены и земли, сила трения F_mp (рис.).

Лестница находится в равновесии, следовательно,

mg + N₁ + N₂ + F_mp = 0,

поэтому суммы проекций всех сил на оси ОХ и OY равны нулю:

N₁ − F_mp = 0,

N₂ − mg = 0,

или

N₁ − μN₂ = 0, (1)

N₂ − mg = 0. (2)

Пусть l − длина лестницы. На основании равенства нулю суммы моментов всех сил относительно оси, проходящей через точку В, составим уравнение:

N₁lsinα − mg(cosα)l/2 = 0.

Отсюда

tgα = mg/(2N₁). (3)

Выразив из уравнения (2)

N₂ = mg

и подставив это значение в уравнение (1), найдем

N₁ = μmg.

Подставив это выражение в формулу (3), получим:

a = arctg(1/(2μ), α = 51°.

24. Четыре шара массами m₁, m₂, m₃ и m₄ надеты на стержень так, что их центры находятся на одинаковых расстояниях l друг от друга. Масса стержня m. Определить положение центра тяжести системы.

Решение.
Предположим, что центр тяжести находится на расстоянии х от центра левого шара (рис.).

Если поставим в этом месте опору, то система будет находиться в равновесии. Следовательно, сумма моментов всех сил относительно оси, проходящей через любую точку, будет равна нулю. На систему действуют силы тяжести шаров m₁g, m₂g, m₃g, m₄g, стержня mg и сила нормальной реакции опоры N. Сумма моментов этих сил относительно оси, проходящей через точку О, равна нулю:

m₂gl + mg•1,5l + m₃g•2l + m₄g•3l − Nx = 0.

Сумма проекций всех сил на вертикальное направление также равна нулю:

N − m₁g − mg − m₂g − m₃g − m₄g = 0.

Решив систему двух уравнений, найдем

x = (m₂ + 1,5m + 2m₃ + 3m₄)l/(m + m₁ + m₂ + m₃ + m₄).

25. Определить положение центра тяжести однородной круглой пластины радиуса R, в которой вырезано квадратное отверстие со стороной а = R/2 так, как показано на рисунке.

Решение.
Расположим пластину с отверстием так, чтобы ось симметрии была горизонтальна, и предположим, что вырезанный квадрат помещен на прежнее место.

Тогда сила тяжести всего тела

mg = m₁g + m₂g,

где m₁g − сила тяжести квадрата, приложенная в центре квадрата; m₂g − сила тяжести пластинки с отверстием, приложенная в искомом центре тяжести С.
Относительно оси, проходящей через общий центр тяжести О, сумма моментов всех сил тяжести равна нулю:

m₁gR/4 − m₂gx = 0,

где х − расстояние от точки О до точки С (центра тяжести пластинки с отверстием). Отсюда

х = m₁R/(4m₂).

Пусть h − толщина пластинки, ρ − плотность материала, из которого она изготовлена. Тогда:

m₁ = ρ(R/2)²h = ρR²h/4,

m₂ = m − m₁ = ρπR²h − ρR²h/4 = (1/4)ρR²h(4π − 1).

26. Система, состоящая из неподвижного и подвижного блоков, находится в равновесии. К неподвижному блоку подвешен груз массой m₁ = 20 кг. Найти
массу груза m₂, силу натяжения нити и силу, действующую на ось неподвижного блока.

Решение.
При равновесии системы сумма проекций на ось OY сил, действующих на блоки и тела, равна нулю:

2T − m₂g = 0,

N − 2T₁ = 0,

T − m₁g = 0, (1)

где T = Т₁ − модуль силы натяжения нити; N − сила реакции оси неподвижного блока.
Согласно третьему закону Ньютона, на ось этого блока действует сила F = N. Тогда из уравнений (1) найдем:

T = m₁g, m₂ = 2m₁, F = 2T,

T = 2•10² H, m₂ = 40 кг, F = 4•10² H.

27. Две пружины, жесткости которых k₁ = 400 Н/м и k₂ = 600 Н/м, соединены последовательно (рис.). Какой должна быть жесткость пружины, которой можно было бы заменить эту систему из двух пружин?

Решение.
При последовательном соединении пружин силы натяжения их одинаковы и равны по модулю приложенной силе F. По закону Гука

F = kΔl, (1)

где k − жесткость системы (а значит, и жесткость пружины, которой можно было бы заменить эту систему); Δl − абсолютная деформация системы:

Δl = Δl₁ + Δl₂, (2)

Δl₁, Δl₂ − деформация каждой пружины.
По закону Гука

F = k₁Δl₁, F = k₂Δl₂. (3)

Из выражений (1) − (3) находим:

Δl = F/k, Δl₁ = F/k₁, Δl₂ = F/k₂.

Подставив эти значения в равенство (2), получим

1/k = 1/k₁ + 1/k₂,

откуда

k = k₁k₂/(k₁ + k₂), k = 240 Н/м.

31. Лестница длиной 4 м приставлена к идеально гладкой стене под углом 60° к горизонту. Коэффициент трения между лестницей и полом равен 0,4. На какую максимальную высоту над полом может подняться по лестнице человек, прежде чем она начнет скользить? Масса лестницы 5 кг, человека 60 кг.

Решение.
Когда человек поднимется на максимальную высоту, то должно выполняться равенство моментов сил тяжести человека, лестницы и реакции гладкой стенки относительно точки вращения B.

mgh/tgα + Mg(L/2)cosα = N_ALsinα, (1)

Так как лестница неподвижна, то выполняется равенство сил

N_A = F_mp, F_mp = μN_B, N_B = mg + Mg.

Тогда

NA = μ(mg + Mg). (2)

Подставим (2) в (1)

mgh/tgα + Mg(L/2)cosα = μ(mg + Mg)Lsinα.

После преобразования

h = μ(m + M)Lsinαtgα/m − MLsinα/(2m).

Подставим численные значения

h = (0,4•(60 + 5)•4•sin60•tg60)/60 − 5•4•sin60°/(2•60) = 2,5 (м)

1(Ш). На стержень действуют две параллельные силы, равные F₁ = 10 H и F₂ = 25 Н и направленные в противоположные стороны. Определите точку приложения и величину силы, уравновешивающей силы F₁ и F₂, если их точки приложения находятся на расстоянии l = 1,5 м друг от друга.

Решение:
Очевидно, что модуль уравновешивающей силы F равен разности модулей действующих на стержень сил:

F = F₂? F₁ = 15 H.

Ясно также, что точка приложения уравновешивающей силы лежит на прямой, соединяющей точки приложения сил F₁ и F, справа от большей силы. Обозначим искомое расстояние через x. Тогда по правилу моментов имеем:

F₁(l + x)? F₂x = 0 и x = F₁l/(F₂? F₁) = 1 м.

Заметим, что в случае F₁ = F₂, т. е. когда на тело действует так называемая пара сил, уравновешивающей силы, в обычном смысле этого слава, нет. Под действием пары сил тело приходит во вращательное движение вокруг его центра тяжести.

Ответ: F = 15 H, x = 1 м.

2(Ш). К гвоздю, вбитому в стенку, привязана нить, намотанная на катушку. Катушка висит, касаясь стенки, как показано на рисунке. Радиус оси катушки r = 0,5 см, радиус ее щечек R = 10 см. Коэффициент трения между стенкой и катушкой μ = 0,1. При каком угле α между нитью и стенкой катушка висит неподвижно?

Решение:
Силы, действующие на катушку, изображены на рисунке.

Запишем условия равновесия катушки в виде:

N – Tsinα = 0

Tr? F_mpR = 0.

Учитывая, что F_mp = μN, получаем

sinα = r/(μR) = 1/2, и α = 30°.

Ответ: α = 30°.

4(Ш). Однородная тонкая пластинка имеет форму круга радиусом R, в котором вырезано круглое отверстие вдвое меньшего радиуса, касающегося края пластинки. Где находится ее центр тяжести?

Решение:
Из соображения симметрии ясно, что центр тяжести пластинки лежит на ее оси на некотором расстоянии x от центра круга. Если вложить обратно вырезанную часть пластинки, то центр тяжести пластинки сместится в ее центр. Запишем соответствующее правило моментов:

m₁gx? m₂gR/2 = 0,

но

m₁/m₂ = S₁/S₂ = (R²? R²/4)/(R²/4) = 3,

поэтому получаем

3x = R/2, и x = R/6.

Ответ: x = R/6.

5(Ш). На столе лежит однородный стержень массой 6 кг так, что две трети его длины находятся за краем стола. Какую силу необходимо приложить к концу стержня для удержания его в горизонтальном положении?

Решение:
На стержень действуют три силы: сила тяжести mg, удерживающая сила F и сила реакции опоры N, которая приложена в точке O, так как вначале вращения эта точка является опорой стержня.

Применим правило моментов относительно оси вращения в точке O:

ΣM = 0,

M_mg + M_F = 0,

mgl₃? Fl₁ = 0, (1)

где M_mg и M_F – момент силы тяжести и приложенной силы F, а l₃ и l₁ – соответствующие плечи сил.
Момент силы N равен нулю, так как эта сила проходит через точку O, относительно которой рассматривается вращение, следовательно, плечо силы N равно нулю.
Из (1) находим, что

F = mgl₃/l₁.

Поскольку

l₃ = l₂? l₄,

где l₄ = l/2, получаем

l₃ = 2l/3 – l/2 = l/6, F = mg/2.

Проводим расчет F = 6•10/2 = 30 H.

Ответ: F = 6•10/2 = 30 H.

(Ш). Куб опирается одним ребром на пол, другим – на гладкую вертикальную стенку. Определить, при каких значениях угла α возможно равновесие куба. Коэффициент трения куба о пол равен μ, ребро куба равно a.

Решение:
Уравнение проекций на вертикаль