Пусть 
и 
- два последовательных приближения системы (3.2). Тогда для приближения 
справедлива оценка
:,
если выполнено первое условие теоремы 3.1, или
,
если выполнено второе условие теоремы 3.1. Процесс итерации заканчивают, когда указанные оценки свидетельствуют о достижении заданной точности ε.
или
3.1.2. Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации:
Сходимость накладывает жесткие условия на коэффициенты данной линейной системы 
. Однако, если 
, то с помощью линейного комбинирования уравнений системы, последнюю всегда можно заменить эквивалентной системой 
, такой, что условия сходимости будут выполнены. Умножим уравнение (3.1) на матрицу 
, где 
- матрица с малыми по модулю, одинаковыми элементами. Тогда будем иметь:
или 
, где 
и 
.
Все элементы матрицы ε выбираем одинаковыми из условия 
. Это обеспечивает выполнение достаточного условия сходимости метода.
Пример 3.1 Решить систему методом итераций в Mathcad с тремя верными цифрами после запятой
Точность вычислений 
Решение исходной системы матричным методом
Линейными преобразованиями добиваемся диагонального преобладания.
Преобразуем к виду, удобному для итераций.
q-это норма матрицы «с»
В качестве начального приближения возьмем столбец свободных членов, сделаем 6 приближений, вектор разностей между соседними приближениями обозначим z. Результаты поместим в матрицу x.
Ответ: 
|
Рис. 3.1.Решение примера 3.1 в Mathcad
2015-10-14
582
