2015-10-14
1588
(5.2)
Можно записать лагранжевы коэффициенты и более компактно: 
, (5.3)
где 
.
Формула Лагранжа при этом имеет вид 
.
Для вычисления лагранжевых коэффициентов может быть использована приведенная ниже схема. Сначала располагаем в таблицу разности
Таблица 5.3.
Таблица разностей
| 
| 
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
|
| 
| 
|
| 
|
| ||||
| 
|
|
| 
|
Обозначим произведение элементов первой строки через D0, второй – D1 и т.д. Произведение же элементов главной диагонали, очевидно, будет 
. Отсюда следует, что
.Следовательно,
.
Пример 5.3 Выполнено в Mathcad
Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лангранжа, если функция задана в неравно- отстоящих узлах таблицы.
Рис 5.2. Решения примера 5.3 в Mathcad
Отметим, что форма лагранжевых коэффициентов инвариантна относительно целой линейной подстановки 
(a,b – постоянны). Действительно, положив в формуле (5.2):
, 
, 
,
после подстановки и сокращения числителя и знаменателя на an, получим:
или
,
где 
, что и требовалось доказать.
В случае равноотстоящих точек лагранжевы коэффициенты могут быть приведены к более простому виду.
В самом деле, полагая 
, будем иметь: 
. Отсюда
и
.
Тогда 
,
где 
. Отсюда можно записать:
(5.4)
где 
Пример 5.4 Выполно в Mathcad.
Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана в равноотстоящих узлах таблицы
Рис 5.3. Решения примера 5.4 в Mathcad
