Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор .

(7.1)

Смешанное произведение трех некомпланарных векторов , , численно равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «+», если вектора , , образуют правую тройку и со знаком «-с» если они образуют левую тройку (рис.7.1).

. (7.2)

,

.

Смешанное произведение векторов , , используется для вычисления объема треугольной пирамиды, построенной на этих векторах .

Свойства смешанного произведения векторов

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке векторов:

.

2. Смешанное произведение не меняется при перестановке знаков векторного и скалярного умножения: .

3. Смешанное произведение меняет знак на противоположный при перемене мест любых двух векторов-сомножителей: .

4. Смешанное произведение ненулевых векторов , и равно нулю, если они компланарны. Если векторы и заданы своими координатами , и , то

. (7.3)

Задача 7.1. Вычислить .

Решение. Используя свойства смешанного произведения векторов, получаем:

.

Задача 7.2. Доказать, что точки , , и лежат в одной плоскости.

Решение. Рассмотрим три вектора , и . По формуле (7.3) вычислим их смешанное произведение:

.

Так как , то векторы , и компланарны. Следовательно, точки , , и лежат в одной плоскости.

Задача 7.3. Вершинами пирамиды служат точки , , и . Найти объем пирамиды.

Решение. Вычислим координаты векторов , и :

, и . Найдем значение смешанного произведения

.

Согласно формуле , получаем .

Задача 7.4. Даны вершины пирамиды , , и . Найти длину высоты, опущенной из вершины на грань .

Решение. Так как , то .

Согласно формуле , где , и объем пирамиды:

.

Находим площадь основания пирамиды :

.

Следовательно, .