Векторное произведение векторов

Три некомпланарных вектора , и , взяты в указанном порядке, образуют правую (левую) тройку, если при наблюдении с конца вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору совершается против движения часовой стрелки (по часовой стрелке) (рис.6.1).

правая тройка

левая тройка

Рис.6.1.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , определяемый следующими условиями:

1) вектор перпендикулярен каждому из векторов и , т.е. и ;

2) длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (рис.6.2), т.е.

, где ; (6.1)

3) векторы , и образуют правую тройку, т.е. тройка векторов , и имеет ту же ориентацию, что и тройка единичных координатных векторов , и (рис.6.3).

Векторное произведение векторов обозначается или .

1) векторное произведение меняет знак при перестановке сомножителей:

;

2) векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя:

;

3) векторное произведение обладает распределительным свойством:

;

Если векторы и заданы своими координатами и ,то

(6.2)

Формулы, применяемые при решении задач

1. Площадь параллелограмма и треугольника:

, (6.3)

. (6.4)

2. Векторное произведение равно нулевому вектору, если два ненулевых вектора и коллинеарны:

3. Момент силы. Пусть к точке приложена сила и - некоторая точка пространства (рис. 6.4). Известно, что моментом силы относительно точки называется вектор , который перпендикулярен плоскости, проходящей через точки , численно равен произведению силы на «плечо»

и образует правую тройку с векторами и .

4. Скорость вращения. Скорость точки твердого тела, вращающегося с угловой скоростью вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера , где , - некоторая неподвижная точка оси (рис.6.5).

Задача 6.1. Даны два вектора и , для которых . Найти и .

Решение. По формуле (6.1) находим . Согласно свойствам векторного произведения получаем:

Задача 6.2. Найти площадь треугольника, вершины которого равны , , .

Решение. Согласно формуле (6.4) площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Тогда

, .

Задача 6.3. Дан треугольник с вершинами , , . Найтидлину высоты, проведенной из вершины к стороне .

Решение. Согласно формул (6.3) и (6.4) площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Так как , , то . Площадь параллелограмма