В каких случаях можно применять критерий глобальной устойчивости Попова?

В «классическом» варианте доказательства данного критерия принят ряд допущений:

1. Нелинейная часть – безинерционна.

2. Статическая характеристика нелинейной части является однозначной (без гистерезиса) и вписывается в Гурвицев угол К (0 < K < ).

3. Линейная часть должна быть устойчивой, или в особых случаях иметь не более 2-х полюсов, расположенных на мнимой оси, при всех остальных полюсах передаточной функции, расположенных в левой полуплоскости.

4. В особых случаях должна иметь место предельная устойчивость.

В.М. Попов ввел понятие видоизмененной АФЧХ, обозначаемой обычно и определяемой соотношениями: ,

где ; ; ; , – действительная и мнимая части АФЧХ линейной части, соответственно.

Для того, чтобы имела место абсолютная устойчивость в угле [0; К] в основном и в угле [eps; К] (где eps – бесконечно малое положительное число) в особых случаях, достаточно, чтобы в плоскости можно было выбрать прямую, проходящую через точку действительной оси с абсциссой –1/K так, чтобы годограф весь лежал строго справа от этой прямой и чтобы, кроме того, в особых случаях имела место предельная устойчивость.

На рис. 2 представлена графическая иллюстрация критерия Попова при анализе устойчивости нелинейной САР, где пунктирной линией представлен традиционный годограф Найквиста (годограф АФЧХ) для линейной части САР (W_лин), сплошной линией представлен видоизмененный годограф Попова, а точка на оси абсцисс с координатой -1/K (K – Гурвицев угол) расположена левее точки пересечения годографа Попова с осью абсцисс.

Очевидно, что через точку -1/К можно провести бесчисленное множество прямых.

На рис. 2 одна из множества прямых проведена так, что видоизмененный годограф Попова лежит строго справа от этой прямой. Резюме: нелинейная САР абсолютно устойчива.