Эквиваленция высказываний

Рассмотрим составное высказывание, которое образуется из двух элементарных при помощи логической связки «… тогда и только тогда, когда …».

Например, пусть даны высказывания А: «Число 129 делится на 3» и В: «Сумма цифр числа 129 делится на 3». Тогда составное высказывание «Число 129 делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа 129 делится на 3» имеет структуру «А тогда и только тогда, когда В» и называется э квиваленцией.

Пусть даны высказывания А и В.

Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание, которое истинно, когда оба высказывания А и В истинны или оба ложны одновременно.

Эквиваленция высказываний А и В обозначается: А В. Читаем: «Эквиваленция высказываний А и В» или «А тогда и только тогда, когда В» («А в том и только в том случае, если В»).

Определение эквиваленции высказываний А и В представим в таблице.

А В АВ
и и и
и л л
л и л
л л и

Примеры.

1. Составное высказывание «Число 18 чётно тогда и только тогда, когда 18M2» истинно, т.к. оба элементарные высказывания «Число 18 чётно» и «18M2» истинны.

2. Составное высказывание «Число 195 делится на 3 тогда и только тогда, когда 195 делится на 9» будет ложным, т.к. оно представляет собой эквиваленцию истинного высказывания «Число 195 делится на 3» и ложного высказывания «Число 195 делится на 9».

3. Составное высказывание «Число 12 простое в том случае, если 12 двузначное число» ложно, т.к. представляет собой эквиваленцию ложного высказывания «Число 12 простое» и истинного высказывания «12 двузначное число».

4. Составное высказывание «12>15 тогда и только тогда, когда 15<12» истинно, т.к. оба составляющие высказывания «12>15» и ложного высказывания «15<12» ложны.

Для эквиваленции высказываний А и В выполняется закон исключения эквиваленции: ( A,B)[A B= (А B) (B A)].

Читаем: «Для любых высказываний А и В эквиваленция высказываний А и В равносильна конъюнкции импликации высказываний А и В и импликации высказываний В и А».

Докажем этот закон с помощью таблицы истинности.

А В AB АB BA B)(BA)
и и и и и и
и л л л и л
л и л и л л
л л и и и и

* *

Сравнивая по сторонам значения истинности для составных высказываний A B и (А B) (B A) в столбцах, отмеченных знаком «*», убеждаемся, что эти высказывания равносильны, следовательно, закон исключения эквиваленции доказан.

Замечание. В математической логике считают, что: 1) операция конъюнкции «сильнее», чем операции дизъюнкции, импликации и эквиваленции; 2)операция дизъюнкции «сильнее», чем импликация и эквиваленция; 3) операция импликации «сильнее»», чем эквиваленция.

Например, определим порядок действий в составных высказываниях:

а) А B C; б) A B C D; в) A B C; г) A B C.

а) Для высказывания А B C порядок такой: 1) B C; 2) А B C.

б) Для высказывания A B C D порядок будет следующий: 1)B C; 2)A B C; 3) A B C D.

в) В высказывании А B C выполняем: 1) B C; 2) А B C.

г) В высказывании A B C выполняем: 1) B C; 2) A B C.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



double arrow
Сейчас читают про: