Операции над множествами

Из элементов двух множеств можно образовывать новые мно­жества, которые являются результатом определенных операций над множествами.

Пример: рассмотрим рисунок 24.

Рис. 24

Пусть А – множество изобра­женных треугольников, В – множе­ство больших фигур, С – множество больших треугольников, тогда мно­жество С можно рассматривать как пересечение множеств А и В (рис.25): A Ç B = C

В

Рис. 25

Пересечением множеств А и В называется множество, со­держащее только такие элементы, которые принадлежат множе­ству А и множеству В.

х Î А Ç В <=> х Î А Ù х Î В

Если у множеств А и В нет об­щих элементов, результатом пересе­чения будет пустое множество (рис.26):

А ÇВ= Æ.

А В

Рис. 26

Задание 14.

Начертите два треугольника так, чтобы их пересечением был: а) треугольник, б) отрезок, в) точка, г) многоугольник.

Над множествами выполняют и другую операцию – объединение.

Объединением множеств А и В называется множество, со­держащее только такие элементы, которые принадлежат множе­ству А или множеству В.

х Î А È В <=> х Î А Ú х Î В

С помощью кругов Эйлера объединение можно изобразить, как показано на рисунке 27. С = A È B

А В

Рис. 27

Например, если А = { а, b, с, d }, В = { b, с, k, l, m }, то A È В = { а, b, с, d, k, l, m }. Заметим, что общие элементы множеств А и В в объедине­нии записываются только один раз.

Задание 15.

Перечислите элементы объединения множеств А и В, если:

а) А = {2,4,6,8}, В = {6,9,12};

б) А = {2,4,6,8}, В = {1,3,4,5};

в) А = {2,4, 6,8}, В = {4,8};

г) А = {2,4, 6, 8}, В = Æ.

Для каждого случая постройте круги Эйлера и сделайте обоб­щения. Верно ли, что если B Ì A, то A È В = А?

При обучении дошкольников действию вычитания воспита­тель опирается на понятие дополнения одного множества до дру­гого.

Например: «У Маши было 5 яб­лок, 2 яблока она отдала брату. Покажи, сколько яблок осталось у Маши?» (Рис.27.)

Рис. 27

Из исходного множества А ребенок удаляет подмножество В и считает количество элементов в оставшемся множестве, оно назы­вается дополнением множества В до множества А.

Пусть В Ì А. Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее только те элементы множе­ства А, которые не принадлежат множеству В.

х Î А\В<=> х ÎА Ù х Ï В

Если изобразить множества А и В с по­мощью кругов Эйлера, то дополнение А\ В будет представлять заштрихованную об­ласть (рис.28).

Рис. 28

Задание 16.

N – множество натуральных чисел. Из каких чисел будет со­стоять дополнение множества А до N,если:

а) А – множество четных натуральных чисел;

б) А – множество чисел, кратных 5;

в) А – множество чисел, больших 10.