2015-10-22
2526
Непосредственное решение системы уравнений Максвелла, как правило, весьма сложно, поскольку здесь определению подлежат шесть неизвестных составляющих векторов 
и 
. Поэтому бывает целесообразным найти некоторую вспомогательную функцию, знание которой позволило бы одновременно найти векторы напряженности электрического и магнитного полей. Подобные вспомогательные функции в электродинамике носят название потенциалов электромагнитного поля.
Отметим, прежде всего, что третьему уравнению Максвелла удовлетворяет векторное поле 
, определяемое по формуле
Здесь 
— некоторая векторная функция, носящая название электрического векторного потенциала. Подобное название обусловлено тем, что эта величина естественно используется в тех задачах, которые связаны с возбуждением электромагнитного поля электрическими сторонними токами. Аналогично
.
Последние два соотношения весьма неопределенны, поскольку единственное условие, налагаемое на , — это дифференцируемость, обеспечивающая существование ротора данного векторного поля.
|
|
|
Попытаемся при помощи электрического векторного потенциала определить вектор напряженности электрического поля, для этого подставим выражение векторного потенциала во второе уравнение Максвелла:
,
т. е.
.
В силу известного тождества векторного анализа
вышеприведенное соотношение будет выполняться автоматически, если
Здесь 
— некоторая скалярная функция, называемая скалярным электрическим потенциалом.
Выбор знака в правой части последней формулы обусловлен тем, что в соответствии с известным соотношением электростатики для полей, не зависящих от времени, справедливо равенство
При этом сохраняется традиционное направление стрелок на силовых линиях электрического поля, при котором истоком поля считается положительный заряд.
Итак, в данном разделе найден способ выражения векторов электромагнитного поля через векторный и скалярный электрические потенциалы:
,
