Векторное произведение геометрических векторов

Решение.

Пример.

Решение.

Найти угол между векторами , .

Векторным произведением двух векторов и , называется вектор = ×, удовлетворяющий трем условиям:

1. || = ∙∙sinφ, где φ – угол между векторами и в промежутке [0;180⁰];

2. , ;

3. если смотреть с конца вектора на плоскость, в которой лежат векторы и , то кратчайший поворот от вектора до будет виден совершающимся против часовой стрелки (правило правого винта).

Применяется векторное произведение для вычисления площадей многоугольников. С помощью векторного произведения можно установить признак параллельности векторов, а именно, два вектора тогда и только тогда взаимно параллельны, когда их векторное произведение равно нулевому вектору. Отметим, что в этом случае удобнее пользоваться признаком: два вектора взаимно параллельны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны. Оно имеет и другие применения, но в основном в физико-технических задачах.

Из первого пункта определения векторного произведения следуют формулы:

││ = S – площадь параллелограмма ABCD;

││ = S – площадь треугольника ABC.

Векторное произведение обладает свойствами:

1) = – (); 2) (+) = () + ();

3) mn= (m n) (), где m,n R.

Применяется векторное произведение для вычисления площадей многоугольников. С помощью векторного произведения можно установить признак параллельности векторов, а именно, два вектора тогда и только тогда взаимно параллельны, когда их векторное произведение равно нулевому вектору. Отметим, что в этом случае удобнее пользоваться признаком: два вектора взаимно параллельны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны. Оно имеет и другие применения, но в основном в физико-технических задачах.

Из первого пункта определения векторного произведения следуют формулы:

││ = S – площадь параллелограмма ABCD;

││ = S – площадь треугольника ABC.

Векторное произведение обладает свойствами:

1) = – (); 2) (+) = () + ();

3) m n = (m n) (), где m, n R.

Пользуясь свойствами векторного произведения и его определением, можно получить формулу:

= ,

где =.

Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(1,1,2), В(0;2;4),С(-1;3;0).

Решение. =(0-1; 2-1; 4-2)= (-1; 1; 2), = (-1-1; 3-1; 0-2)= =(-2;2;-2).

││=│

Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами

.

Решение. Будем считать, что третья координата вершин треугольника равна нулю. Тогда:

=(; ;0), = (; ; 0).

││=

││.

Получили формулу площади параллелограмма со смежными сторонамии . Формула площади треугольника АВС имеет вид:

││.