Многомерные случайные величины

Многие экономические показатели определяются несколькими факторами, являясь по сути многомерными СВ. Например, объем продукции растениеводства в сельском хозяйстве может быть охарактеризован уровнем механизации – Х ₁, численностью работников – Х ₂, количеством внесенных минеральных удобрений на единицу площади – Х ₃, количеством осадков в период вегетации – Х ₄ и качеством почвы – Х ₅ [1].

Для описания n-мерной СВ Х ₁, Х ₂, … Х_n (n -мерного случайного вектора Х = (Х ₁, Х ₂, … Х_n)) вводятся понятия совместной вероятности, совместной функции распределения и совместной плотности вероятностей. Далее, для простоты изложения, будем рассматривать двумерную СВ (n = 2, случайная точка на плоскости), при этом все основные понятия могут быть перенесены на случай n > 2.

В двумерном случае для СВ (X, Y) совместная вероятность определяется соотношением:

P (x, y) = P (X = x, Y = y). (1.21)

Тогда совместная функция распределения F (x, y) определится равенством:

F (x, y) = P (X < x, Y < y). (1.22)

Свойства функции F (x, y) аналогичны свойствам функции распределения одномерной СВ.

Совместной плотностью вероятностей непрерывной двумерной СВ (Х, Y) называется вторая смешанная частная производная ее функции распределения:

. (1.23)

Тогда и вероятность попадания СВ (X, Y) в область D равна .

Условным законом распределения одной из составляющих двумерной СВ (X, Y) называется закон ее распределения, вычисленный при условии, что другая ее составляющая примет определенное значение. В частности, условные плотности вероятностей f_y (x) и f_x (y) определяются по формулам:

примет значение у

(1.24)

примет значение х,

где f ₁(x) и f ₂(y) – плотности вероятностей СВ Х и Y.

Числовые характеристики условных законов распределений определяются как условные математические ожидания М_х (Y) и М_у (Х) и условные дисперсии D_x (Y) и D_y (X). Они находятся по формулам раздела 1.2, в которых вместо вероятностей событий или плотностей вероятности используются условные вероятности или условные плотности распределения.

Одной из важных задач экономического анализа является обоснование влияния конкретных факторов на исследуемый экономический показатель и установление степени их взаимосвязи друг с другом. Для анализа степени взаимосвязи СВ (степени зависимости между СВ) обычно используют различные моменты распределений, ковариацию (совместное изменение) и коэффициент корреляции [16].

Ковариацией (корреляционным моментом) СВ Х и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий:

Cov (X, Y) = M [(X – M (X)) · (Y – M (Y))] = M (X · Y) – M (X) · M (Y). (1.25)

Кроме обозначения Cov (X, Y), достаточно часто используется обозначение σ _ху.

Если Х и Y независимые СВ, то M (X, Y) = M (X) · (M (Y) и Cov (X, Y) = 0.

Ковариация характеризует наличие положительной (переменные изменяются в одном направлении) или отрицательной (переменные изменяются в разных направлениях) связи между СВ. Ковариация является размерной величиной, что затрудняет ее использование для определения силы (строгости) зависимости между рассматриваемыми СВ. Для устранения данных недостатков вводится относительная мера взаимосвязи – коэффициент корреляции.

Коэффициентом корреляции СВ Х и Y называют отношение их ковариации к произведению средних квадратических отклонений:

. (1.26)

Основные свойства коэффициента корреляции:

1. -1 £ р £ 1.

2. ρ = 0, если СВ Х и Y независимы.

3. Если | р | = 1, то Y = a + b · X, т. е. между СВ Х и Y существует линейная функциональная зависимость.

Из независимости СВ Х и Y следует их некоррелируемость (ρ = 0). Обратное утверждение неверно. Для расчета дисперсий суммы (разности) коррелированных СВ Х и Y следует использовать формулы:

D (X ± Y) = D (X) + D (Y) ± 2 Cov (X, Y)

(1.27)

D (X ± Y) = D (X) + D (Y) ± 2 ρ · σ_x · σ_y.

Очевидно, что в случае независимости СВ последние слагаемые в этих формулах обращаются в ноль.