Ожидания и дисперсии диаметра катанки

Всю обработку опытных данных удобно производить в табличной форме, например, как это сделано в табл. 3.2, где – выборочное среднее.

Таблица 3.2

Таблица расчета

Номер	Старая технология	Новая технология
измерения	хiс	хiс2		хiн	хiн2
	6,13	37,5769	0,35	5,49	30,1401	0,02
	5,30	28,0900	0,48	5,52	30,4704	0,05
	5,94	35,2836	0,16	5,74	32,9476	0,27
	5,46	29,8116	0,32	5,40	29,1600	0,07
	5,96	35,5216	0,18	5,01	25,1001	0,46
	5,67	32,1489	0,11	5,53	30,5809	0,06
	5,75	33,0625	0,03	5,62	31,5844	0,15
	5,91	34,9281	0,13	5,47	29,9209	0,00
	5,69	32,3761	0,09	5,54	30,6916	0,07
	6,00	36,0000	0,22	5,42	29,3764	0,05
S	57,81	334,7993	2,07	54,74	299,9716	1,19

Для расчета точечных и интервальных оценок воспользуемся значениями сумм (S), рассчитанных в табл. 3.2 (здесь и в дальнейшем нижним индексом “с” обозначены величины, относящиеся к старой технологии, без применения ЧБК, а нижним индексом “н” – для новой технологии с ЧБК).

Точечные оценки

3.1.1.1. Точечная оценка математического ожидания

Наилучшей (состоятельной, эффективной и несмещенной) оценкой математического ожидания является выборочное среднее арифметическое, рассчитываемое по выражению (2.14):

а) для старой технологии мм;

б) для новой технологии мм.

3.1.1.2. Точечная оценка генеральной дисперсии

Наилучшей оценкой генеральной дисперсии является выборочная дисперсия, рассчитываемая по выражению (1.15) или по преобразованному выражению (2.16). Значения сумм диаметра уже подсчитаны при расчете среднего арифметического. Дополнительно следует рассчитать квадраты диаметров катанки, поместив значения в соответствующие столбцы и подсчитав суммы значений по этим столбцам (см. табл. 3.2):

а) для старой технологии мм²;

б) для новой технологии мм².

3.1.1.3. Точечная оценка генерального среднеквадратического

отклонения

Наилучшей оценкой генерального среднеквадратического отклонения является выборочное среднеквадратическое (стандартное) отклонение (2.17):

а) для старой технологии мм;

б) для новой технологии: мм.

Интервальные оценки

3.1.2.1. Интервальная оценка математического ожидания

Требуется построить интервал, который с вероятностью 95 % накроет неизвестное значение математического ожидания:

а)для старой технологиигенеральная дисперсия известна, поэтому при построении доверительного интервала для математического ожидания m_с используем выражение (2.19). Квантиль нормированного нормального распределения для доверительной вероятности Р₁=1-a/2=1-0.05/2=0.975определяем по табл. П.2: .

Тогда ;

;

;

б)для новой технологии генеральная дисперсия неизвестна, поэтому для построения доверительного интервала для математического ожидания m_н используем выражение (2.20). Значение квантили t_a/2,n распределения Стьюдента для уровня значимости a/2=(1-р)/2 и числа степеней свободы n=N-1 определяем по табл. П.6.

Для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы n=N-1=10-1=9 табличное значение квантили составит .

Тогда ;

;

.

3.1.2.2. Интервальная оценка генеральной дисперсии

Требуется построить интервал, который с вероятностью 95 % накроет неизвестное значение генеральной дисперсии:

а) строить интервальную оценку для генеральной дисперсии для старой технологии не имеет смысла, так как известно точное численное значение генерального среднеквадратического отклонения s_с=0.18 мм, а следовательно, можно рассчитать точное значение генеральной дисперсии s_с²=0,0324 мм²;

б) для новой технологии интервальная оценка для генеральной дисперсии определяется выражением (2.21). Квантили распределения Пирсона и для уровней значимости α₁=a/2 и α₂=1-a/2 и чисел степеней свободы ν=N-1 определим по табл. П.3: ;

.

Тогда ;

;

.

Вывод: Для старой технологии среднее значение диаметра катанки составляло 5.78 мм при выборочном среднеквадратическом отклонении 0.26 мм. Для новой технологии эти показатели имеют значения 5.47 мм и 0.19 мм. Можно сделать предварительное заключение (статистическая значимость которого будет оценена ниже) о преимуществах новой технологии по сравнению со старой с точки зрения возможности получения катанки меньшего диаметра () и повышения ее точности (). Однако, сравнивая известное генеральное (точное) значение среднеквадратического отклонения для старой технологии σ_с=0.18 мм и значение оценки среднеквадратического отклонения для новой технологии s_н=0.19 мм, можно прийти к обратному выводу с точки зрения повышения точности прокатки.