Расчет обделки как упругой конструкции в упругой среде

Если обделка расположена в достаточно устойчивых грунтах, обладающих упругими свойствами, то при расчете ее следует рассматривать как конструкцию в упругой среде и рассчитывать на действие активных вертикальных и горизонтальных нагрузок с учетом взаимодействия. Наибольшее распространение для расчета обделок в таких условиях получил метод Метрогипротранса. Метод предназначен для расчета конструкций произвольного очертания, расчетную схему которых можно представить в виде плоской стержневой системы.

Построение расчетной схемы производится на основе следующих допущений (рис. 5.2, а):

1. Плавное очертание нейтральной оси обделки заменяется вписанным в нее стержневым многоугольником. Положение нейтральной оси определяется с учетом геометрических характеристик поперечного сечения тоннеля.

2. Жесткость обделки на протяжении каждого стержня остается постоянной, но может меняться от стержня к стержню.

3. Распределенные внешние нагрузки заменяются сосредоточенными усилиями, приложенными в вершинах многоугольника.

4. Сплошную упругую грунтовую среду заменяют отдельными упругими опорами, помещенными в вершинах вписанного многоугольника, за исключением верхнего безотпорного участка. В запас прочности, обычно, расчет ведется без учета сил трения между наружной поверхностью обделки и грунтом.

При преобладании вертикальных нагрузок силы трения, возникающие в подошвы стены разомкнутой обделки препятствуют смещению низа стены в горизонтальном направлении. В расчетной схеме это учитывается введением горизонтальной жесткой опоры в уровне подошвы стены (запрет перемещений пяты стены по горизонтали).

Если конструкция обделки и нагрузки на нее симметричны, то в расчетной схеме имеется возможность расчета половины конструкции. При этом ось ординат (OY) располагается на оси симметрии. Разбиение оси на участки производится произвольно. Для достижения приемлемой в инженерных целях точности расчета, обычно, достаточно разбить половину кольца обделки на 10-16 равных участков.

Рис.5.2. Расчетная схема обделки как стержневой конструкции в упругой среде (а) и

основная система метода сил (б).

По рассмотренной выше расчетной схеме (рис.5.2, а) расчет обделки можно вести методом сил или методом перемещений.

Метод сил дает наименьшее количество неизвестных. Если расчетная схема обделки представлена монолитной конструкцией, то число этих неизвестных соответствует количеству вершин многоугольника " n ".

В качестве основной системы принимают шарнирную цепь, полученную введением шарниров в жестких узлах стержневого многоугольника (рис. 5.2,б). В качестве лишних неизвестных рассматривают парные изгибающие моменты в симметричных шарнирах.

Основная система является статически определимой. Неизвестные определяют из решения канонической системы уравнений, каждое из ко­торых отрицает возможность перемещения по направлению удаленной связи, т.е. углы поворота сечения в узлах основной системы приравниваются нулю. Для основной системы, приведенной на рис. 5.2, б:

(5.12)

Каждое перемещение в системе уравнений (5.12) определяется по известным из строительной механики формулам и состоит из трех членов, учитывающих влияние деформаций изгиба, обжатия стержней нормаль­ными силами и осадку упругих опор:

(5.13)

где		–	изгибающие моменты в основной системе от действия единичных моментов;
		–	нормальные силы в основной системе от действия единичных моментов;
	MP, NP	–	соответственно, изгибающий момент и нормальная сила в основной системе от действия активных нагрузок;
		–	реакции упругих опор в основной системе от действия единичных моментов;
	RP	–	то же от действия активных нагрузок;
	Jm,Fm,am	–	соответственно, момент инерции, площадь поперечного сечения и длина " m "-ой стороны многоугольника;
	Em	–	модуль упругости материала обделки;
	Dm	–	характеристика жесткости упругой опоры;
			;
	Km	–	коэффициент упругого отпора грунта;
	hm	–	длина постели упругой опоры;
	b	–	ширина выделенного участка вдоль оси тоннеля.

Усилия в основной системе от действия единичных моментов и нагрузки определяют путем последовательного вырезания узлов многоугольника и рассмотрения их равновесия.

Окончательно, значения реакций в упругих опорах R_m и нормальных сил в сечениях обделки N_m определяют из следующих выражений:

;

; (5.14)

где	,	–	усилия в основной системе от действия единичных моментов;
	Rmp,Nmp	–	то же, от действия нагрузок;
	Mn	–	моменты в сечениях обделки, полученные в результате решения системы (5.12).

Расчет по методу перемещений является более удобным и универсальным с точки зрения программирования. Расчетную схему назначают исходя из основных допущений метода Метрогипротранса (см. рис. 5.2, а).

Основная система метода перемещений получается из расчетной схемы путем наложения трех связей на каждый узел многоугольника: одна препятствует повороту, другая - горизонтальному смещению, третья - вертикальному смещению. Число неизвестных при этом увеличивается в три раза, по сравнению с методом сил. Однако при применении современных ЭВМ это не имеет особого значения.

Таким образом, основная система представляет собой систему отдельных стержней, закрепленных по концам. Неизвестными задачи являются углы поворота Dq _i и линейные смещения по вертикали Dy_i и горизонтали Dx_i.

Для отыскания неизвестных узловых перемещений составляются уравнения равновесия узлов основной системы. Каждый узел основной системы должен находиться в равновесии под воздействием усилий, возникающих в нем от узловых смещений Dx_i,Dy_i,D q _i и узловых нагрузок P_i и Q_i. В матричной форме канонические уравнения метода перемещений примут вид:

;(5.15)

В результате решения системы уравнений (5.15) получаем перемещения узлов Dx_i, Dy_i, D q_i в общей системе координат (x, y). По ним вычисляют перемещения концов стержней и внутренние усилия в стержнях: изгибающие моменты в начале и в конце стержня, нормальные и поперечные силы.

Рассмотренные выше плоские стержневые расчетные схемы наиболее универсальны и применимы для расчета монолитных и сборных тоннельных обделок произвольного очертания, при различных схемах загружения, при переменных характеристиках сечений и материалов обделок, а также коэффициента упругого отпора грунта.