2015-10-22
544
Если в пространстве задана прямоугольная система координат Оxyz, то точка М пространства, имеющая координаты x (абсцисса), y (ордината), z (аппликата), обозначается М (x, y, z).
Расстояние между двумя точками А (х1, у1, z1) и В (х2 , у2, z2) определяется по формуле 
. В частности, расстояние от точки М (x, y, z) от начала координат О определяется по формуле 
Если х1, у1, z1 -координаты точки А, а х2, у2, z2 - координаты точки В, то координаты х и у точки С, делящей отрезок АВ вотношении 
определяются по формулам
; 
; 
Если λ == 1, то точка С(х, у,z) делит отрезок АВ пополам, и тогда координаты х и у средины отрезка А В определятся по формулам
; 
; 
Площадь треугольника на плоскости по известным координатам его вершин А (х1, у1), В(х2, y2), С (х3, у3) вычисляется по формуле 
. 
Полученное с помощью этой формулы число следует взять по абсолютной величине. Если S = 0, то значит три точки лежат на одной прямой.
Пример. Найти координаты точки С—средины отрезка, соединяющего точки
А (—2, 4) и В (—4, 10).
Решение. В формулах и 
возьмем х 1 = - 2; х 2 = - 4;
у 1= 4; 
= 10. Тогда абсцисса средины отрезка АВ х =- 3; ордината - у= 7.
Пример. Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках А (2, - 3), В (1, 1), С(- 6, 5).
Решение: Задачу решим, воспользовавшись формулой площади треугольника
= 12
Ответ. S = 12 кв. ед.
Скалярное произведение.
Скалярным произведением двух векторов 
называется число, равное произведению их модулей на косинус угла φ между ними. Скалярное произведение векторов 
обозначается символом 
.
= 
cosφ.
Свойства скалярного произведения:
1. = 
(переместительный закон)
2. = 0, если 
(скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю) или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.
3. 
4. 
(распределительный закон)
Скалярное произведение ортов осей координат: 
Если векторы заданы своими координатами: 
, то их скалярное произведение вычисляется по формуле = x1x2 +y1y2+z1z2.
Векторное произведение.
Векторным произведением векторов называется вектор 
, который определяется следующими условиями:
1) Его модуль равен sinφ, где φ - угол между векторами .
Модуль вектора 
равен площади параллелограмма, построенного на векторах
3) 
^
Основные свойства векторного произведения:
1) Векторное произведение 
равно нулю, если векторы 
коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.
2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный 
= 
;
3)(
)´ = 
(распределительное свойство)
Если векторы заданы своими координатами: , то векторное произведение находим по формуле:
= 
Площадь параллелограмма и треугольника, построенного на векторах , соответственно равны 
, 
Смешанное произведение
Векторно-скалярное произведение трех векторов 
или смешанное их произведение вычисляется по формуле
, если векторы заданы своими координатами: 
.
Абсолютная величина смешанного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на векторах 
.
Объем пирамиды, построенной на векторах , получим по формуле 
причем знак перед определителем должен быть выбран так, чтобы объем V был положительным.
Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной и той же плоскости. Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю.
Пример. Начти объем пирамиды, если координаты ее вершин А (х1, у1, z1) и В (х2 , у2, z2)
Решение: Рассмотрим векторы 
, на которых построена пирамида.
Зная координаты начала и конца каждого вектора, найдем проекции этих векторов на оси прямоугольной системы координат:
, 
, 
для объема пирамиды получаем на основании формулы 
