Математическое описание объектов химической технологии на основе модели идеального смешения, МИС

Лекция 2

Тема: – Моделирование объектов химической технологии.

Общий подход

Основой математического описания объектов химической технологии являются уравнения, отражающие законы сохранения массы и энергии.

Закон сохранения массы отражают уравнения общего и покомпонентных материальных балансов

Закон сохранения энергии чаще всего отражает уравнение теплового баланса.

Структура балансных уравнений определяется структурой потоков в аппарате. В большинстве случаев для описания структуры потоков в аппарате используют идеальные гидродинамические модели:

1. Модель идеального смешения;

2. Модель идеального вытеснения;

3. Диффузионная модель;

4. Ячеечная модель.

При моделировании сложных объектов возможно использование комбинаций идеальных гидродинамических моделей.

Запишем общую структуру балансных уравнений для аппаратов, функционирующих в нестационарных условиях.

Структура уравнений покомпонентных материальных балансов:

Изменение количества компонента (вещества)	=	Приход количества вещества с входящими потоками	–	Расход количества вещества с выходящими потоками	+	Изменение кол-ва вещества (приход /расход) за счет условных источников/стоков
		Гидродинамическая составляющая		Составляющая, характеризующая превращения внутри аппарата

Структура уравнения теплового баланса:

Изменение количества тепла	=	Приход количества тепла с входящими потоками	–	Расход количества тепла с выходящими потоками	+	Изменение кол-ва тепла (приход /расход) за счет условных источников/стоков
		Гидродинамическая составляющая		Составляющая характеризующая изменение тепла внутри аппарата

Математическое описание условных
источников и стоков вещества и теплоты

В объектах химической технологии происходят процессы, в результате которых образуются или распадаются вещества, выделяется или поглощается энергия.

Если в результате какого-либо процесса происходит образование вещества и выделение энергии, то говорят об условных источниках вещества и энергии.

Если в результате какого-либо процесса вещество расходуется, а энергия поглощается, то говорят об условных стоках вещества и энергии.

В зависимости от зоны протекания процесса, различают два типа источников и стоков – это объемные и поверхностные источники или стоки.

Количественной характеристикой источников и стоков является их интенсивность, т.е. скорость изменения количества вещества и энергии в единице объема аппарата (для объемных источников и стоков) или на единице поверхности – для поверхностных источников и стоков.

Обозначим интенсивность изменения количества вещества символом , а интенсивность изменения количества тепла символом . Тогда интенсивности источников и стоков будут иметь следующие обозначения.

Источники и стоки вещества:

[кмоль/м³ с] – интенсивность объемного источника/стока го компонента;

[кмоль/м² с] – интенсивность поверхностного источника/стока го компонента.

Источники и стоки тепла:

[Кдж/м³ с] – интенсивность объемного источника/стока тепла;

[Кдж/м² с] – интенсивность поверхностного источника/стока тепла.

Математическое описание химических источников и стоков.

Интенсивность химического источника/стока го компонента равна скорости превращения этого компонента в ходе химической реакции.

Гомогенные реакции:

.

Гетерогенные реакции:

.

Интенсивность химического источника/стока энергии определяется как скорость выделения или поглощения тепла в ходе реакции:

.

Математическое описание массообменных источников и стоков.

Интенсивность источников/стоков равна скорости переноса массы через поверхность контакта фаз:

,

где – коэффициент массопередачи, а – движущая сила процесса массопередачи, равная разности концентраций го компонента.

Интенсивность источников и стоков тепла определяется тепловым эффектом процесса массопередачи:

,

где – тепловой эффект процесса, отнесенный к единице компонента.

Математическое описание теплообменных источников и стоков.

Интенсивность теплообменных источников и стоков равна скорости теплообмена с окружающей средой или теплоносителем:

,

где – коэффициент теплопередачи, а – движущая сила процесса теплопередачи равная разности температур.

Математическое описание объектов химической технологии на основе модели идеального смешения, МИС.

Характеристика МИС: модель идеального смешения характеризуется безградиентностью параметров состояния во всем объеме аппарата.

Параметрами состояния называют все физические и теплофизические характеристики такие, как состав смеси, плотность, теплоемкость, температура и т.д.

Модель идеального смешения предполагает идеальную однородность потоков во всем объеме аппарата в каждый текущий момент времени. Принятие допущения об идеальной однородности справедливо для ёмкостных аппаратов при высокой интенсивности перемешивания. Для ёмкостных аппаратов выполняется соотношение , где – высота аппарата, а его диаметр.

Рисуем аппарат, конструктивные особенности которого позволяют предположить идеальную однородность потоков.

Примем следующие обозначения:

– количество го компонента, кмоль j; – молярная доля го компонента, кмоль j /кмоль; – плотность реакционной смеси, молярная – кмоль/м³ и массовая – кг/м³; – удельная теплоемкость реакционной смеси, кДж/(кг К); – температура реакционной смеси, град. К; – количество теплоты, Кдж; – количество входящих потоков.

Запишем покомпонентный материальный баланс, основываясь на общей структуре балансных уравнений.

Рассуждать будем следующим образом. Рассмотрим левую часть структуры балансных уравнений: за промежуток времени, равный количество го компонента изменится на величину равную . Изменение количества го компонента выразится отношением . При условии, что промежуток времени выбран таким, что его величина и при переходе к пределу, получим: .

Рассмотрим правую часть структуры балансных уравнений. Первое слагаемое характеризует количество го компонента, поступающего в зону проведения процесса посредством всех входящих потоков: . Правильность проверим исходя из анализа размерностей: размерности левой и правой частей балансного уравнения совпадают, и, значит, наши рассуждения верны.

Второе слагаемое характеризует количество го компонента, выходящего из зоны проведения процесса посредством одного выходящего потока – . Последнее слагаемое характеризует изменение количества го компонента за счет условных источников/стоков, т.е. определяется суммарным молярным потоком го компонента, образованным условными источниками и стоками в зоне смешивания .

Суммарный молярный поток может быть образован как объемными источниками и стоками , так и поверхностными :

Окончательно уравнение покомпонентного материального баланса примет вид:

,

где – .

Количество уравнений покомпонентных материальных балансов равно количеству компонентов реакционной смеси .

Аналогично рассуждая, запишем уравнение теплового баланса:

,

где – суммарный поток теплоты, образованный условными источниками и стоками в зоне смешивания.

Суммарный поток теплоты определяется как сумма объемных и поверхностных источников и стоков теплоты:

.

Таким образом, математическая модель представляет собой систему дифференциальных уравнений первого порядка. Количество уравнений математической модели равно количеству уравнений материального баланса составленных по каждому компоненту реакционной смеси плюс уравнение теплового баланса.