Корреляционные отношения

Отражением нелинейной (криволинейной) корреляции являются корреляционные отношения. Корреляционное отношение h_у/х указывает на зависимость признака у от признака х; отношением—зависимость признака х от у. Эти величины определяются по формулам:

где h_у/х; h_x/_y—корреляционные отношения;

x_i, y_i—варианты признака х и признака у;

х; у—средние арифметические обоих признаков;

х'; у'—частные средние признаков х и у.

Для определения частных средних х', у' находят средние арифметические второго признака среди соответствующих им одинаковых вариантов первого признака. Пользование корреляционными отношениями основано на свойстве этих величин, а именно: корреляционное отношение, всегда положительное, не выходит за пределы от нуля до единицы:

Следовательно, как и в случае с коэффициентом корреляции, чем выше корреляционное отношение, тем теснее связь между исследуемыми признаками, чем ниже— тем слабее.

Поскольку пара коррелируемых признаков отражается двумя отношениями, представляется возможность выявить ведущий признак.

Допустим, в результате в результате вычислений получено

h_у/х= А; h_x/_y =В

Если А>В то признак Y зависит от Х больше, чем X от Y. Следовательно признак Х доминирует. Если В>A, то Х зависит от Y больше, чем Yот Х, и признак Y доминирует

Пример 32. Упражнения А и В выполняются для развития ловкости. Предполагается, что между временем исполнения упражнения А и В существует связь. Восемь спортсменов (табл. 51) при исполнении упражнения А (xi) и В (yi) показали время (в секундах)—см. первые два столбца нижеприведенной таблицы. Определить корреляционные отношения h_у/х; h_x/_y

Таблица 51

х_і	у_і	у`	(у`- )	(у_і- )	(у`- )²	(у_і- )²
3,0	7,0	10,6	—4,3	-7,9	18,49	62,41
3.0	10,0	10,6	—4,3	—4,9	18,49	24,01
3,0	15,0	10,6	—4.3	+0,1	18,49	0,01
5,0	12,0	12,0	—2,9	—2,9	8.41	8,41
8,0	18,0	18,5	+3,6	+3,1	12,96	9,61
8,0	19,0	18,5	43,6	+4,1	12,96	16,81
12,0	19,0	19,0	+4,1	+4,1	16,81	16,81
12,0	19,0	19,0	+4,1	+4,1	16,81	16,81
54,0	119,0				123,32	154,88

На основании этой таблицы в соответствии с формулой (34) находим

Зависимость признака у от х весьма высокая.

Для вычисления корреляционного отношения h_x/_y исходные данные переписываем в табл. 52, выдвигая на первое место признак y_i.

Таблица 52

у_і	х_і	x`	(x`- )	(x_і- )	(x`- )²	(x_і- )²
7,0	3,0	3,0	—3,8	-3,8	14,44	14,44
10,0	3,0	3,0	—3,8	—3,8	14,44	14,44
15,0	3,0	3,0	—3,8	-3,8	!4,44	14,44
12,0	5,0	5,0	—1,8	—1,8	3,24	3,24
18,0	8,0	8,0	+1,2	+1,2	1,44	1,44
19,0	8,0	10,7	+3,9	+1,2	15,21	1,44
19,0	12,0	10,7	+3,9	+5,2	15,21	27,04
19,0	12,0	10,7	+3,9	+5,2	15,21	27,04
119,0	54,0				93,63	103,52

На основании этой таблицы по формуле (35) находим;

— связь между признаками весьма тесная.

В обеих таблицах третьи столбцы посвящены определению частных средних х' и y'.

Так, в табл. 51 величина 10,6 найдена как средняя арифметическая величин 7,0; 10,0; 15,0, соответствующих трем одинаковым значениям (3,0) признака х, и т. д.

В общем случае оба корреляционных отношения не равны между собой, то есть первый признак от второго зависит не так, как второй от первого.

В том случае, когда оба корреляционных отношения приближаются друг к другу, корреляционная связь становится линейной, а в идеальном случае при линейной корреляции — все три показателя: оба корреляционных отношения и коэффициент корреляции равны между собой.

Пример 33. Плавание. Предполагается взаимосвязь между величиной общего кислородного долга при плавательной нагрузке и средней скоростью проплывания 100-метровой дистанции. Исследованы 12 спортсменов на величину общего кислородного долга х_і (мл/кг) и среднюю скорость, прохождения дистанции. у_і(м/с). Определить наличие и форму корреляционной связи.

Таблица 53

х_і	у_і	у'	у'-	у_і-	(у'- )²	(у_і- )²
70,00	0,80	0,87	—0,18	—0,25	0,0324	0,0625
70,00	0,90	0,87	—0,18	—0,15	0,0324	0,0225
70,00	0,90	0,87	—0,18	—0,15	0,0324	0,0225
72,00	0,90	0,90.	—0,15	—0,15	0,0225	0,0225
75,00	1,00	1,00	—0,05	—0,05	0,0025	0,0025
75,00	1,00	1,00	—0,05	—0,05	0,0025	0,0025
77,00	1,00	1,05		—0,05		0,0025
77,00	1,10	1,05		+0,05	0 -	0,0025
80,00	1,20	1,25	+0,20	+0,15	0,0400	0,0225
80,00	1,20	1,25	+0,20	+0,15	0,0400	0,0225
80,00	1,30	1,25	+0,20	+0,25	0,0400	0,0625
80,00	1,30	1,25	+0,20	+0,25	0,0400	0,0625
906,00	12,60				0,2847	0,3100

Таблица 54

у_і	х_і	х'	х'-	х_і-	(х'- )²	(х_і- )²
0,80	70,00	70,00	—5,5	-5,5	30,25	30,25
0,90	70,00	70,70	—4,8	—5,5	23,04	30,25
0,90	70,00	70,70	—4.8	-5,5	23,04	30,25
0,90	72,00	70,70	—4,8	—3,5	23,04	12,25
1,00	75,00	75,70	+0,2	—0,5	0,04	0,25
1,00	75,00	75,70	+0,2	—0,5	0,04	0,25
1,00	77.00	75,70	+0,2	+1,5	0,04	2,25
1,10	77,00	77,00	+1,5	+1,5	2,25	2,25
1,20	80,00	80.00	+4,5	+4,5	20,25	20.25
- 1,20	80,00	80,00	+4,5	+4,5 •	20.25	20,25
1,30	80,00	80,00	+4,5	+4,5	20,25	20,25
1,30	80,00	80,00	+4,5	+4,5	20,25	20,25
12,60	906,00				182,74	189,00

По результатам второй таблицы;

Оба найденных корреляционных отношения примерно равны между собой:

Проверим это еще и по коэффициенту корреляции (табл. 55):

Таблица 55

х_і	у_і	(х_і- )	(у_і- )	(х_і- )(у_і- )	(х_і- )²	(у_і- )²
70,00	0,80	-5,50	-5,50	+1,3750	30,25	0,0625
70,00	0,90	—5,50	—5,50	+0,8250	30,25	0,0225
70,00	0,90	—5,50	—5,50	+0,8250	30,25	0,0225
72,00	0,90	—3,50	—3,50	+0,5250	12,25	0,0225
75,00	1,00	—0,50	—0,50	+0,0250	0,25	0,0025
75,00	1,00	—0,50	—0,50	+0,0250	0,25	0,0025
77,00	1.00	+1,50	+1,50	—0,0750	2,25	0,0025
77,00	1,10	+1,50	+1,50	+0,0750	2,25	0,0025
80,00	1,20	+4,50	+4,50	+0,6750	20,25	0,0225
80,00	1,20	+4,50	+4,50	+0,6750	20,25	0,0225
80,00	1,30	+4,50	+4,50	+1,1250	20,25	0,0625
80,00	1,30	+4,50	+4,50	+1,1250	20,25	0,0625
906,00	12,60			+7,2000	189,0	0,3100

Таким образом, оба корреляционных отношения h_у/х=0,96; h_x/_y=0,98 и коэффициент корреляции r_xy=0,96 примерно равны между собой. Это свидетельствует о том, что у данных спортсменов между рассмотренными признаками величиной общего кислородного долга (x_i) и средней скоростью прохождения дистанции (y_i) существует тесная корреляционная взаимосвязь линейной формы. В тех случаях, когда корреляционные отношения и коэффициент корреляции существенно отличаются друг от друга, для определения формы корреляции можно воспользоваться специальным критерием F. Он определяется по формуле:

, (36)

где F—критерий для определения формы корреляции;

n—объем совокупности;

s — количество групп чисел, имеющих одинаковые значения по первому признаку;

h_у/х — корреляционное отношение;

r_xy — коэффициент корреляции.

Пользование этим критерием сводится к следующему:

1. По формуле (36) определяется критерий F.

2. В приложении 3 находим граничное значение критерия F_гр., для избранной надежности и в соответствии с числами k₁ и k₂.

k₁=(s-2), (44)

k₂=(n-s), (45)

где s и n пояснены выше.

3. Если F>F_гр., корреляцию следует считать нелинейной. Если Р<Ргр. корреляция линейна.

Пример 34. Исследуется взаимосвязь между силой тяги мышц Xi (кг) и скоростью их сокращения у; (см/с) у 10 спортсменов (табл. 56—58). Установить тесноту и форму такой взаимосвязи.

Таблица 56

х_і	у_і	у'	у'-	у_і-	(у'- )²	(у_і- )²
6,2	28,0	22,1	+8,6	+14,5	73,96	210,25
6,2	16,2	22,1	+8,6	+2,7	73,96	7,29
8,4	16,2	12,1	—1,4	+2,7	1,96	7,29
8,4	10,1	12,1	-1,4	—3,4	1,96	11,56
8.4	10,1	12,1	-1,4	—3,4	1,96	11,56
12,1	10,1	7,0	-6,5	—3,4	42,25	!1,5б
12,1	4,0	7,0	—6,5	—9,5	42,25	90,25
61,8	94,7				238,30	349,76

Средние арифметические обоих признаков:

Корреляционное отношение

Таблица 57

у_і	х_і	х'	х'-	х_і-	(х'- )²	(х_і- )²
28,00	6,20	6,20	—2,60	—2,60	6,76	6,76
16,20	6,20	7,30	—1,50	—2.60	2,25	6,76
16,20	8,40	7,30	—1,50	—0,40	2,25	0,16
10,10	8,40	9,60	+0,80	—0,40	0,64	0.16
10,10	8,40	9,60	+0,80	—0,40	0,64	0,16
10,10	12,10	9,60	+0,80	+3,30	0,64	10,89
4,00	12,10	12,10	+3,30	+3,30	10,89	10,89
					24,07	35.7S

Второе корреляционное отношение

Таблица 58

х_і	у_і	(х_і- )	(у_і- )	(х_і- )(у_і- )	(х_і- )²	(у_і- )²
6,2	28,0	—2,6	+14,5	—37,70	6,76	210,25
6,2	16,2	—2,6	+2,7	—7,02	6.76	7,29
8,4	16,2	—0,4	+2,7	—1,08	0,16	7,29
8.4	10,1	—0,4	—3,4	+1,36	0.16	11,55
8,4	10,1	—0,4	—3,4	+1,36	0,16	11,56
12,1	10,1	+3,3	—3,4	—11,22	10,89	11,56
12,1	4.0	+3,3	—9,5	—31,35	10,89	90,25
				—85,65	35,78	349,76

Отрицательный знак коэффициента корреляции указывает на обратную (отрицательную) корреляционную зависимость.

Для определения формы корреляционной взаимосвязи воспользуемся критерием F по формуле (36):

где h_у/х == 0,826—первое корреляционное отношение;

r_xy =0,765— (без учета знака) коэффициент корреляции;

n = 7—объем совокупности;

s=3— количество групп чисел с одинаковым значением признака х.

По этой же формуле определяем критерий F для второго корреляционного отношения h_у/х = 0,82. В этом случае s=4 по следующей таблице.

Для корреляционного отношения

Задаем надежность Р=0,95. В приложении 3 нет величин k₁=l и k₂=4. Ближайшее к ним значение k₁==4 и k₃=6. Для них: Frp.=4,53.

Поскольку найденное F= 1,21 меньше F_rp.=4,53, корреляционную взаимосвязь следует считать линейной. Для корреляционного отношения h_у/х: k₁=s—2=4—2=2; k₂=n—s=7— 4=3. Принимаем то же F_rp,=4,53. Здесь также F=0,39<F_rp.=4,53. Взаимосвязь следует считать линейной.

Пользование коэффициентом R_xyz совершенно аналогично пользованию парным коэффициентом.

Определение коэффициентов множественной корреляции для четырех, пяти и т. д. признаков связано с громоздкими вычислениями и потому в подобных случаях предпочитают пользоваться другими математико-статистическими методами.

Ранговая корреляция

Наименование корреляции «ранговая» связано с понятием «ранг», то есть имеющий порядковый номер.

В некоторых случаях невозможно определить значения признаков. Например, не поддаются количественному выражению некоторые показатели педагогических, психологических, медицинских, спортивных исследований.

Вместе с тем можно установить последовательность этих показателей, положив в основу такого анализа какой-либо критерий.

Например, невозможно определить комплексную характеристику ведения боя у боксеров, однако можно установить последовательность в оценке боксеров, исходя из количества выигранных боев. Этот же пример можно отнести к гимнастам, фигуристам, игровикам и т. д.

Во всех этих случаях корреляционную связь между признаками можно оценить при помощи коэффициента ранговой корреляции R. Поскольку в основу его вычисления положены значения последовательности расположения объектов, а не значения собственно признаков, теснота связи улавливается слабее и точность исследований снижается.

К числу преимуществ этого метода следует отнести возможность работы с небольшим количеством объектов — в некоторых исследованиях это имеет очень большое значение.

Коэффициент ранговой корреляции можно определить по такой формуле:

где R—коэффициент ранговой корреляции;

d—разность рангов, т. е. порядковых номеров объектов;

n — количество исследуемых объектов.

Коэффициент ранговой корреляции изменяется от 0 до 1 и в соответствии с этим интервалом оценивается теснота искомой связи. Выводы по ранговому коэффициенту корреляции— те же, что и в вышеописанных коэффициентах.

Пример 35. Выступая на соревнованиях по II юношескому разряду, 7 гимнасток после выполнения упражнений на брусьях заняли такие места х_i. Эти же спортсменки при выполнении упражнений на бревне заняли места y_i_. Определить наличие корреляционной связи у исследуемых гимнасток по этим двум видам гимнастического многоборья.

Таблица 59

x_i	y_i	d_i= (x_i-y_i)	d_i²
		—3
		—1
		+2
		– 3
		—1
		+1
		+5

Определяем коэффициент ранговой корреляции в соответствии с формулой (37):

Коэффициент ранговой корреляции R=0,1 указывает на то, что у исследуемых 7 гимнасток почти отсутствует связь между результатами выполнения упражнений на брусьях и на бревне.

Пример 36. Одиночное катание на коньках. По выполнению обязательных (x_i) и произвольных (у_i) упражнений шесть спортсменов распределились следующим образом (табл. 60):

Таблица 60