Коэффициент корреляции

Наиболее точный способ определения тесноты и характера корреляционной связи - нахождение коэффициента корреляции. Коэффициент корреляции есть число определяемое по формуле:

где r_ху— коэффициент корреляции;

x_i—значения первого признака;

у_i—значения второго признака;

—средняя арифметическая значений первого признака

средняя арифметическая значений второго признака

Для пользования формулой (32) построим таблицу, которая обеспечит необходимую последовательность в подготовке чисел для нахождения числителя и знаменателя коэффициента корреляции.

Как видно из формулы (32), последовательность действий такая: находим средние арифметические обоих признаков х и у, находим разность между значениями признака и его средней (х_і- ) и у_і- ), затем находим их произведение (х_і- ) (у_і- ) – суммa пocлeдних дает числитель коэффициента корреляции. Для нахождения его знаменателя следует разности (x_i— )и (у_і - ) возвести в квадрат, найти их суммы и извлечь корень квадратный из их произведения.

Так для примера 31 нахождение коэффициента корреляции в соответствии с формулой (32) можно представить следующим образом (табл. 50).

Полученное число коэффициента корреляции дает возможность установить наличие, тесноту и характер связи.

1. Если коэффициент корреляции равен нулю, связь между признаками отсутствует.

2. Если коэффициент корреляции равен единице, связь между признаками столь велика, что превращается в функциональную.

3. Абсолютная величина коэффициента корреляции не выходит за пределы интервала от нуля до единицы:

0<|r_xy|<1.

Это дает возможность ориентироваться на тесноту связи: чем величина коэффициента ближе к нулю, тем связь слабее, а чем ближе к единице, тем связь теснее.

4. Знак коэффициента корреляции «плюс» означает прямую корреляцию, знак «минус»—обратную.

Таблица 50

хі	уі	(хі- )	(уі- )	(хі- )(уі- )	(хі- )2	(уі- )2
14,00	12,10	—1,70	—2,30	+3,91	2,89	5,29
14,20	13,80	—1,50	—0,60	+0,90	2,25	0,36
14,90	14,20	—0,80	—0,20	+0,16	0,64	0,04
15,40	13,00	—0,30	—1,40	+0,42	0,09	1,96
16,00	14,60	+0,30	+0,20	+0,06	0,09	0,04
17,20	15,90	+1,50	+1,50	+2,25	2,25	2,25
18,10	17,40	+2,40	+2,00	+4,80	5,76	4,00
109,80	101,00			12,50	13,97	13,94

Таким образом, вычисленный в примере 31 коэффициент корреляции r_xy = +0,9. позволяет сделать такие выводы: существует корреляционная связь между величиной мышечной силы правой и левой кистей у исследуемых школьников (коэффициент r_xy =+0,9 отличен от нуля), связь очень тесная (коэффициент r_xy =+0,9 близок к единице), корреляция прямая (коэффициент r_xy = +0,9 положителен), т. е. с увеличением мышечной силы одной из кистей увеличивается сила другой кисти.

При вычислении коэффициента корреляции и пользовании его свойствами следует учесть, что выводы дают корректные результаты в том случае, когда признаки распределены нормально и когда рассматривается взаимосвязь между большим количеством значений обоих признаков.

В рассмотренном примере 31 анализированы только 7 значений обоих признаков, что, конечно, недостаточно для подобных исследований. Напоминаем здесь еще раз, что примеры, в данной книге вообще и в этой главе в частности, носят характер иллюстрации методов, а не подробного изложения каких-либо научных экспериментов. Вследствие этого рассмотрено небольшое число значений признаков, измерения округлены — все это делается для того, чтобы громоздкими вычислениями не затемнять идею метода.

Особое внимание следует обратить на существо рассматриваемой взаимосвязи. Коэффициент корреляции не может привести к верным результатам исследования, если анализ взаимосвязи между признаками проводится формально. Возвратимся еще раз к примеру 31. Оба рассмотренных признака представляли собой значения мышечной силы правой и левой кистей. Представим себе, что под признаком x_i в примере 31 (14,0; 14,2; 14,9......18,1) мы понимает длину случайно пойманных рыб в сантиметрах, а под признаком у_і (12,1; 13,8; 14,2......17,4) —вес приборов в лаборатории в килограммах. Формально воспользовавшись аппаратом вычислений для нахождения коэффициента корреляции и получив в этом случае также r_xy =+0>9, мы должны были заключить, что между длиной рыб и весом приборов существует тесная связь прямого характера. Бессмысленность такого вывода очевидна.

Чтобы избежать формального подхода к пользованию коэффициентом корреляции, следует любым другим методом — математическим, логическим, экспериментальным, теоретическим — выявить возможность существования корреляционной связи между признаками, то есть обнаружить органическое единство признаков. Только после этого можно приступать к пользованию корреляционным анализом и устанавливать величину и характер взаимосвязи.

В математической статистике существует еще понятие множественной корреляции — взаимосвязи между тремя и более признаками. В этих случаях пользуются коэффициентом множественной корреляции, состоящим из парных коэффициентов корреляции, описанных выше.

Например, коэффициент корреляции трех признаков—х_і, у_і, z_і — есть:

где R_xyz—коэффициент множественной корреляции, выражающий, как признак х_i зависит от признаков у_і и z_i;

r_xy —коэффициент корреляции между признаками x_i и y_i;

r_xz—коэффициент корреляции между признаками Xi и Zi;

r_yz — коэффициент корреляции между признаками y_i, z_i