Приведем некоторые из основных операций, которые можно осуществлять над нечетким множествами.
1. Дополнение нечеткого множества А обозначается символом и определяется следующим образом:
(5.15)
Операция дополнения соответствует логическому отрицанию. Например, если А - название нечеткого множества, то «не А» понимается как (см. пример ниже).
2. Объединение нечетких множеств А и В обозначается А+В (или АÈВ) и определяется:
(5.16)
Объединение соответствует логической связке «или». Например, если А и В – названия нечетких множеств, то запись «А или В» понимается как А+В.
При определении степени принадлежности элементов u новому нечеткому множеству, выбирают большее из .
Замечание: следует иметь в виде, что логическая связка Ú в данном контексте означает по определению max (т.е. ); Ù означает min (т.е. ).
3. Пересечение А и В обозначаются АÇВ и определяется следующим образом:
(5.17)
Пересечение соответствует логической связке «u», т.е.
А иВ=АÇВ (5.18)
При определении степени принадлежности элементов u новому нечеткому множеству, выбирают меньшее из (см. замечание выше).
|
|
4. Произведение А и В обозначается АВ и определяется формулой
(5.19)
если (5.20)
Пример 5.5. Если
U=1+2+…+10
A=0.8/3+1/5+0.6/6 (5.21)
B=0.7/3+1/4+0.5/6,
То ØА=1/1+1/2+0.2/3+1/4+0.4/6+1/7+1/8+1/9+1/10
А+В=0.8/3+1/4+1/5+0.6/6
АÇВ=0.7/3+0.5/6 (берется min из двух значений m) (5.22)
АВ=0.56/3+0.3/6
0.4А=0.32/3+0.4/5+0.24/6
5. Декартово произведение нечетких множеств А1, …, Аn универсальных множеств U1,…,Un соответственно обозначается А1´…´Аn и определяется как нечеткое подмножество множества U1´…´Un с функцией принадлежности.
(5.23)
т.о. (5.24)
Пример 5.6. Если
U1=U2 =3+5+7
A1=0.5/3+1/5+0.6/7
A2=1/3+0.6/5, то
A1´A2=0.5/3.3+1/5.3+0.6/7.6+0.5/3.5+0.6/5.5+0.6/7.5
Нечеткие отношения.
Нечеткое отношение R: X®Y представляет собой нечеткое множество декартова произведения X´Y. R следующим образом описывается с помощью функции принадлежности двух переменных:
(5.25)
Нечетким отношением на множестве X´Y называется совокупность пар
(5.26)
где - функция принадлежности нечеткого отношения R, имеющая тот же смысл, что и функция принадлежности нечеткого множества.
Вообще n - арное отношение есть нечеткое подмножество декартова произведения X1´X2´…´Xn, причем
(5.27)
Примеры нечетких отношений:
«X примерно равен Y»,
«X значительно больше Y»,
«А существенно предпочтительнее В».
Пример 5.7. Предположим, что X={Юрий, Сергей}, Y={Максим, Михаил}.
Тогда бинарное нечеткое отношение «сходства» между элементами множеств X и Y можно записать в виде
сходство=0.8/(Юрий,Максим)+0.6/(Юрий,Михаил)+0.2/(Сергей,Максим)+0.9/(Сергей, Михаил).
Помимо этого, данное отношение можно представить в виде матрицы отношений.
|
|
(5.28)
В которой (i,j)- й элемент равен значению функции для i -го значения x и j-го значения y.
Если R – отношение X®Y (или, что то же самое, отношение в X´Y), а S – отношение Y®Z, то композицией R и S является нечеткое отношение X®Z, обозначаемое R° S и определяемое формулой
(5.29)
где ° - знак композиции, знаки Ú и Ù обозначают соответственно max и min, Vy – верхняя грань по области значений у.
Здесь (5.29) является композицией отношений.
Выражение (5.29) определяет максминное произведение R и S.
Так, для действительных чисел а и b:
(5.30)
(5.31)
Если X,Y,Z – конечные множества, то матрица отношения R° S есть максминное произведение матриц отношений R и S. В максминном произведении матриц вместо операции сложения и умножения используются операции Ú и Ù соответственно.
Пример максминного произведения
(5.32)
Здесь количество строк должно равняться количеству столбцов. Строка умножается на столбец и берется максимальное значение из минимальных значений пар.