Приближенные рассуждения

В классической теории исчисления высказываний выражение «Если А, Тогда В», где А и В – пропозициональные переменные (пропозициональная переменная – это переменная для предложений, которые рассматриваются лишь с точки зрения их истинности или ложности), записывается как А®В, где импликация (®) рассматривается как связка, смысл которой определяется таблицей истинности.

Таким образом А®ВºØАÚВ (6.17)

В том смысле, что А®В (А влечет В) и ØАÚВ (не А или В) имеют идентичные таблицы истинности. Более важным в нашем случае является неопределенное высказывание «Если А, Тогда В», коротко А®В, в котором А (антецедент) и В (консеквент) – нечеткие множества, а не пропозициональные переменные («пропозиция» означает предложение, выражение, высказывание).

Типичные примеры высказываний:

Если «большой», Тогда «малый»

Если «скользкий», Тогда «опасный;»

Они являются сокращениями предложений:

Если х-«большой», Тогда у-«малый»;

Если дорога «скользкая», Тогда езда «опасна».

В сущности предложения этого вида описывают отношения между двумя неопределенными переменными. Это означает что неопределенное высказывание следует скорее определить как нечеткое отношение в смысле (5.25), а не как связку в смысле (6.17).

Здесь целесообразно определить сначала декартово произведение двух нечетких множеств.

Пусть А -нечеткое подмножество области рассуждений U и пусть В - нечеткое подмножество другой области рассуждений V. Тогда декартово произведение А и В, обозначаемое А´В, определяется следующим образом

(6.18)

где U´V означает декартово произведение множеств U и V, т.е.

Заметим, что когда А и В – не нечеткие, (6.18) преобразовывается в обычное определение декартова произведения множеств.

Иными словами, (6.18) означает, что А´В нечеткое множество упорядоченных пар (u,v), , со степенью принадлежности (u,v) к (А´В), задаваемой формулой . В этом смысле А´В есть нечеткое отношение U и V.

Пример 6.1. Пусть

U=1+2 (6.19)

V=1+2+3 (6.20)

A=1/1+0,8/2 (6.21)

B=0,6/1+0,9/2+1/3 (6.22)

Тогда

А´В=0,6/(1,1)+0,9/(1,2)+1/(1,3)+0,6/(2,1)+0,8/(2,2)+0,8/(2,3) (6.23)

Отношение, определенное в (6.17) можно представить матрицей отношения

Смысл нечеткого высказывания вида «Если А, Тогда В» становится ясен, если рассматривать его как специальный случай условного высказывания «Если А, Тогда В, Иначе С», где А, В и С – нечеткие подмножества, возможно, различных областей U и V, соответственно.

В терминах декартова произведения последнее предложение определяется так:

Если А, Тогда В, Иначе С (6.25)

Где + означает объединение нечетких множеств А´В и (ØА´С).

Чтобы обобщить понятие материальной импликации на нечеткие множества, предположим, что U и V – два возможно различных универсальных множества, а А, В и С – нечеткие подмножества множеств U, V и V соответственно.

Сначала определим смысл высказывания

Если А, Тогда В, Иначе С, и затем определим

Если А, Тогда В как частный случай высказывания Если А, Тогда В, Иначе С.

Определение. Высказывание Если А, Тогда В, Иначе С есть бинарное нечеткое отношение в U´V, определяемое следующим образом:

Если А, Тогда В, Иначе С=А´В+ØА´С (6.26)

То есть, если А,В и С – унарные нечеткие отношения в U, V и V, тогда Если А, Тогда В, Иначе С – бинарное нечеткое отношение в U´V, которое является объединением декартова произведения А и В (см.(5.23)) и декартова произведения отрицания А и С.

Далее высказывание Если А, Тогда В можно рассматривать как частный случай высказывания Если А, Тогда В, Иначе С при допущении, что С – полное множество V.

Т.о. Если А, Тогда В Если А, Тогда В, Иначе V=А´В+ØА´V (6.27)