Глава 5. Механические колебания и волны

Контрольные вопросы

1. Какое движение называют колебаниями?

2. Какие колебания называются гармоническими? Какими величинами они характеризуются?

3. Как найти скорость и ускорение колеблющейся точки в любой момент времени? Покажите на конкретном примере.

4. Запишите второй закон Ньютона для гармонически колеблющейся материальной точки.

5. Как найти кинетическую и потенциальную энергию гармонических колебаний материальной точки?

6. Вспомните формулы периодов колебаний математического, пружинного и физического маятников.

7. Какое движение получается при сложении двух гармонических одинаково направленных колебаний с одинаковыми частотами? Каковы будут характеристики этого движения?

8. Когда возникают биения? Напишите уравнения биений и охарактеризуйте величины, входящие в него.

9. Какова будет траектория результирующего колебания при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с одинаковыми частотами?

10. Какие колебания называются затухающими? Напишите уравнение затухающих колебаний и поясните его.

11. Что такое время релаксации? Как оно связано с показателем затухания?

12. Что называется логарифмическим декрементом затухания? Каков его физический смысл?

13. Какие колебания называются вынужденными? Проанализируйте зависимость амплитуды вынужденных колебаний от соотношения частоты вынуждающей силы и собственной частоты системы.

14. Выведите уравнение плоской бегущей волны.

15. Когда при наложении когерентных волн происходит усиление колебаний, а когда ослабление?

16. Каков физический смысл вектора Умова? Чему равна его величина и как он направлен?

17. Какие волны называют стоячими? Как их можно получить? Запишите уравнение стоячей волны и дайте необходимые пояснения.

Основные формулы

Уравнение гармонических колебаний

,

где x - смещение точки от положения равновесия, А - амплитуда колебаний, w - циклическая частота, j ₀ - начальная фаза.

Циклическая частота связана с периодом и линейной частотой следующими соотношениями

.

Скорость и ускорение точки, совершающей колебание, определяются как первая и вторая производные от смещения по времени.

Сила, под действием которой точка массой m совершает гармонические колебания, определяется по 2 закону Ньютона

,

где k - коэффициент возвращающей (квазиупругой) силы.

Кинетическая и потенциальная энергия колеблющейся точки:

,

.

Периоды колебаний простейших колебательных систем:

а) Математический маятник:

.

б) Пружинный маятник:

.

в) Физический маятник

,

где J _o - момент инерции маятника относительно его оси вращения, m - его масса, l_c - расстояние от центра масс до оси вращения, g - ускорение свободного падения.

При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода получается гармоническое колебание того же периода с амплитудой

и с начальной фазой, определяемой из уравнения

,

где A ₁ и A ₂ - амплитуды складываемых колебаний, j₁ и j₂ -их начальные фазы.

При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинакового периода уравнение траектории результирующего движения имеет вид

.

Уравнение затухающих колебаний

,

где A ₀ e^{- b t} - амплитуда колебаний в данный момент времени t, A ₀ - амплитуда в начальный момент времени, - коэффициент (показатель) затухания, e - основание натуральных логарифмов, - циклическая частота затухающих колебаний.

Логарифмический декремент затухания:

.

При распространении незатухающих колебаний со скоростью v вдоль оси х, смещение любой точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии l, дается уравнением (уравнение плоской бегущей волны)

,

где l = vT = v/n - длина волны, х - смещение для продольных колебаний, у - для поперечных.