Однородные системы линейных уравнений

1 2 3 4

Однородная система линейных уравнений имеет вид

(1)

где A – матрица коэффициентов; X – матрица-столбец, составленная из неизвестных.

Очевидно, что любая однородная система имеет нулевое решение , которое называется тривиальным решением.

Теорема. Если и являются решениями однородной системы (1), то и их линейная комбинация

является решением этой системы.

Доказательство. По условию теоремы AХ ₁=0 и AХ ₂=0.

Тогда для любых чисел С ₁ и С ₂: С ₁ AХ ₁=0 Þ AС ₁ Х ₁=0 и С ₂ AХ ₂=0Þ AС ₂ Х ₂=0. Складывая эти выражения, получаем A (С ₁ Х ₁+ С ₂ Х ₂)= AС ₁ Х ₁+ AС ₂ Х ₂= С ₁ AХ ₁+ С ₂ AХ ₂=0. Следовательно, линейная комбинация С ₁ Х ₁+ С ₂ Х ₂решений однородной системы линейных уравнений также является решением этой системы.

Примеры:

1. Решить систему уравнений

методом Гаусса. Решение. Выполним элементарные преобразования над строками матрицы коэффициентов, приведя ее к ступенчатому виду:

Ранг матрицы равен 3, тогда как число неизвестных равно 4. Поэтому одну из неизвестных, например,

следует рассматривать как свободный параметр. Далее нужно присвоить этому параметру произвольное значение

и выразить базисные неизвестные

через c. Преобразованная матрица соответствует следующей системе уравнений:

Из последнего уравнения следует, что

. Выразим остальные базисные переменные:

Таким образом, общее решение системы найдено:

Чтобы найти частное решение, нужно придать параметру c какое-нибудь числовое значение. Полагая c = 4, получаем

Проверка: Подставим неизвестные

в уравнения системы:

Уравнения обратились в тождества.

***

2. Пусть

. Найти общее решение однородной системы линейных уравнений AX = 0. Решение. Преобразуем коэффициентную матрицу к ступенчатому виду:

Поскольку

, а число неизвестных равно 4, то две неизвестные должны рассматриваться как базисные, а оставшиеся переменные как свободные параметры. Полагая

, получаем уклрлченную систему уравнений

решение которой имеет вид

. Запишем общее решение

и представим его в виде линейной комбинации частных решений:

Если общее решение однородной системы представлено в виде линейной комбинации типа

то говорят, что частные решения

образуют фундаментальную систему решений. В рассматриваемом случае фундаментальную систему решений образуют частные решения

***

3. Предположим, что общее решение однородной системы уравнений имеет вид

Очевидно, что

и поэтому частные решения

образуют фундаментальную систему решений.

***

4. Дана матрица

. Решить однородную систему линейных уравнений AX = 0. Решение. Преобразуем коэффициентную матрицу к треугольному виду:

Соответствующая система

имеет только тривиальное решение

Правило Крамера

Существует частный случай, когда решение системы линейных уравнений можно представить в явном виде. Соответствующая теорема носит название “Правило Крамера” и имеет важное значение в теоретических исследованиях.

Правило Крамера. Пусть матричное уравнение

AX = B

(1)

описывает систему n линейных уравнений с n неизвестными.

Если , то система (1) является совместной и имеет единственное решение, описываемое формулой

(2)

где ; – определитель, полученный из определителя D заменой i -го столбца столбцом свободных членов матрицы B:

(3)

Доказательство теоремы разобьем на три части:

Решение системы (1) существует и является единственным.
Равенства (2) являются следствием матричного уравнения (1).
Равенства (2) влекут за собой матричное уравнение (1).

Так как , то существует и при том единственная, обратная матрица .
Умножая обе части матричного уравнения (1) слева на , получаем решение этого уравнения:

(4)

Единственность обратной матрицы доказывает первую часть теоремы.

Перейдем к доказательству взаимно-однознаяного соответствия между формулами (1) и (2).

Используя формулу (4), получим выражение для i -го элемента. Для этого нужно умножить i -ую строку матрицы

на столбец B.

Учитывая, что i -ая строка присоединенной матрицы составлена из алгебраических дополнений , получаем следующий результат:

(5)

Сумма в правой части этого равенства представляет собой разложение определителя D_i по элементам i -го столбца и, следовательно,

(6)

Вывод формул Крамера завершен. Покажем теперь, что выражения

(7)

влекут за собой матричное уравнение (1).

Умножим обе части уравнения (7) на и выполним суммирование по индексу i:

(8)

Изменим порядок суммирования в правой части полученного выражения:

(9)

Согласно Лемме 1 теоремы об обратной матрице,

(10)

где – дельта-символ Кронекера.

Учитывая, что дельта-символ снимает суммирование по одному из индексов, получаем требуемый результат:

(11)

Пример.

Решить методом Крамера систему линейных уравнений:

Решение. Вычислим определители, выполняя предварительно элементарные преобразования над их строками и затем разлагая полученные определители по элементам их первых столбцов.