Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы. Ранг показывает количество линейно-зависимых строк.

Обозначение: rang A, r(A), r_A

Элементарные преобразования матриц:

1. Отбрасывание нулевых строк или столбцов.

2. Умножение всех элементов строки или столбца на число, не равное нулю.

3. Изменение порядка следования строк или столбцов.

4. Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5. Транспонирование матрицы.

ТЕОРЕМА: ранг не меняется при элементарных преобразованиях.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

СЛУ сводится к ступенчатому виду. Выписываем расширенную матрицу. Нижнюю ненулевую строчку переписываем как уравнение. Поднимаемся на строчку выше и переписываем ее также в виде уравнения. Ранг равен числу неизвестных.

Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то решение единственное. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то решений бесконечное множество. Если ранг больше числа неизвестных, то среди r переменных две будут базисные, а r-n свободными.