Лабораторная работа № 4

Тема: ИЗУЧЕНИЕ СЛОЖЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ПОМОЩЬЮ ЭЛЕКТРОННОГО ОСЦИЛЛОГРАФА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: измерение параметров гармонических колебаний, параметров электрических сигналов, получение графических изображений результатов сложения взаимно-перпендикулярных колебаний.

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: электронный осциллограф, звуковые генераторы, регулятор напряжения, вольтметр, соединительные провода.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Возможны системы, в которых колеблющееся тело может одновременно участвовать в нескольких колебаниях. В этом случае происходит сложение колебаний, и в связи с этим возникает необходимость определить результирующее движение тела. Это движение будет зависеть от параметров каждого колебания, т.е. от амплитуд, частот, начальных фаз.

Существуют различные случаи сложения гармонических колебаний. Рассмотрим сложение двух колебаний одного направления и двух взаимно перпендикулярных колебаний.

При изучении сложения колебаний одного и того же направления удобно пользоваться геометрическим способом представления колебаний в виде векторной диаграммы. Сущность этого способа состоит в следующем. На оси, обозначенной буквой x, выберем произвольную точку О (рис.1). Из этой точки под углом j, равным начальной фазе колебаний, отложим в некотором масштабе вектор, модуль которого равен амплитуде а. Тогда на оси х получим точку О₁, являющуюся проекцией конца этого вектора. Расстояние ОО₁ представляет собой начальное смещение точки О₁, равное

Рис. 1

Если привести вектор амплитуды во вращение с угловой скоростью w против часовой стрелки, то в некоторый момент времени t он образует с осью х фазу (wt+j). При этом точка О₁будет перемещаться к точке О, а проекция вектора амплитуды на ось х будет равна

При возрастании времени фаза (wt+j) увеличивается, а значение косинуса сначала убывает, затем принимает отрицательные значения, достигая при угле 180⁰ своей минимальной величины, равной (-1). Точка О₁, смещаясь влево, достигает своего крайнего левого положения (смещение x=-a). Затем она начинает двигаться вправо и при значении угла 360 градусов достигает крайнего правого положения (смещение х = +а). При дальнейшем вращении вектора амплитуды координаты точки О₁ будут повторяться.

Таким образом, проекция конца вектора амплитуды, перемещаясь по оси х, совершает гармоническое колебание. Координаты этой проекции или смещение точки О₁будут изменяться по закону

х = а cos (wt + j) (1)

Это выражение является уравнением гармонического колебания в общем виде. Таким образом, любое гармоническое колебание может быть задано векторной диаграммой. Векторные диаграммы широко применяются в электронике.

1)Сложение двух гармонических колебаний одного направления

а) Тело участвует в двух гармонических колебаниях с одинаковыми круговыми частотами w, но с различными амплитудами и начальными фазами.

Уравнение этих колебаний запишутся следующим образом:

х₁ = а₁ cos(wt + j₁)

(2)

x₂ = a₂ cos(wt + j₂),

где х₁ и х₂ - смещения; а₁ и а₂ - амплитуды; w - круговая частота обоих колебаний; j₁ и j₂ - начальные фазы колебаний.

Выполним сложение этих колебаний при помощи векторной диаграммы. Представим оба колебания векторами амплитуд. Для этого от произвольной точки О, лежащей на оси х, отложим два вектора ₁ и ₂соответственно под углами j₁ и j₂ к этой оси (рис.2).

Рис. 2

Проекции этих векторов на ось х будут равны смещениям х₁ и х₂ согласно выражению (2). При вращении обоих векторов против часовой стрелки с угловой скоростью w проекции их концов на ось х будут совершать гармонические колебания. Так как оба вектора вращаются с одинаковой угловой скоростью w, то угол между ними j=j₁-j₂ остается постоянным. Сложив оба вектора ₁ и ₂по правилу параллелограмма, получим результирующий вектор . Как видно из рис.2, проекция этого вектора на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов х=х₁+х₂. С другой стороны: х=а·cos(wt+j_о).

Следовательно, вектор вращается с той же угловой скоростью, что и векторы ₁ и ₂ и совершает гармоническое колебание, происходящее вдоль той же прямой, что и слагаемые колебания, и с частотой, равной частоте исходных колебаний. Здесь j_о- начальная фаза результирующего колебания.

Как видно из рис.2, для определения амплитуды результирующего колебания можно использовать теорему косинусов, согласно которой имеем:

а² = а₁²+ а²₂ - 2а₁а₂·cos[p - (j₂ - j₁)]

или

а = а₁² + а₂² + 2а₁а₂·cos(j₂ - j₁) (3)

Из выражения (3) видно, что амплитуда результирующего колебания зависит от разности начальных фаз (j₂ - j₁) слагаемых колебаний. Если начальные фазы равны (j₂=j₁), то из формулы (3) видно, что амплитуда а равна сумме а₁ и а₂. Если разность фаз (j₂ - j₁) равна ±180^о (т.е. оба колебания находятся в противофазе), то амплитуда результирующего колебания равна абсолютному значению разности амплитуд слагаемых колебаний: а = |а₁ - а₂|.

б) Тело участвует в двух колебаниях с одинаковыми амплитудами, начальными фазами, равными нулю, и различными частотами.

Уравнения для этих колебаний будут иметь вид:

х₁ = а·sinw₁t,

x₂ = a·sinw₂t.

При этом предполагается, что w₁ мало отличается по величине от w₂. Сложив эти выражения, получим:

х=х₁+х₂=2а·cos [ (w₁-w₂)/2 ] t+sin [ (w₁+w₂)/2 ] t=

=2а cos [ (w₁-w₂)/2 ] t sin wt (4 )

Результирующее движение представляет собой сложное колебание, называемое биениями (рис.3) Так как величина w₁ -w₂ мала по сравнению с величиной w₁ +w₂, то это движение можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой, равной полусумме частот складываемых колебаний w=(w₁+w₂)/2, и переменной амплитудой.

Рис. 3

Из (4) следует, что амплитуда результирующего колебания меняется по периодическому закону косинуса. Полный цикл изменения значений функции косинуса происходит при изменении аргумента на 360⁰, при этом функция проходит значения от +1 до -1. Состояние системы, совершающей биения в моменты времени, соответствующие указанным значениям функции косинуса в формуле (4), ничем не отличаются. Другими словами, циклы биений происходят с периодичностью, соответствующей изменению аргумента косинуса в формуле (4) на 180⁰. Таким образом, период Т_а изменения амплитуды при биениях (период биений) определяется из условия:

Т_а = 2p/(w₁ - w₂).

Учитывая, что w=2pn, получим:

Т_а = 2 p /2 p (n₁- n₂) = 1/(n₁- n₂). (5)

Частота изменения амплитуды результирующего колебания равна разности частот складываемых колебаний:

n=1/Т_а=n₁-n₂.