Структура електричного кола

1 2 3 4 5 6 7

РОЗРАХУНОК ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ

ПОСТІЙНОГО СТРУМУ

для студентів електротехнічних напрямів підготовки

0906 “Електротехніка”,0914 “Електроніка”,

0914 “Компютеризовані системи, автоматика і управління”,

0915 “Компютерна інженерія”.

Київ

НТУУ „КПІ” ФЕА

Розрахунок електричних кіл постійного струму: для студентів електротехнічних напрямів підготовки 0906 “Електротехніка”,0914 “Електроніка”, 0914 “Компютеризовані системи, автоматика і управління”, 0915 “Компютерна інженерія”.

/ Уклад.: І. А. Курило, І. Н. Намацалюк, А. А. Щерба. – К.: НТУУ”КПІ”, 2006.- 51 с.

Навчальне видання

РОЗРАХУНОК ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ

ПОСТІЙНОГО СТРУМУ

для студентів електротехнічних напрямів підготовки

0906 “Електротехніка”,0914 “Електроніка”,

0914 “Компютеризовані системи, автоматика і управління”,

0915 “Компютерна інженерія”.

Укладачі: Курило Ігор Анатолійович

Намацалюк Ігор Нестерович

Щерба Анатолій Андрійович

Відповідальний

редактор Ю. Ф. Видолоб, канд. техн. наук, доц.

Рецензент В. М. Андрієнко, канд. техн. наук, доц.

Важливою складовою організації самостійної роботи студентів, які вивча-ють курс теоретичної електротехніки, є виконання ними розрахунково-графіч-них робіт з ключових розділів курсу.

Допомогти студентам у їх самостійній роботі покликане це видання, у яко-му міститься стислий виклад теоретичного матеріалу, засвоєння якого необхід-не для успішного розв’язання проблем аналізу лінійних електричних кіл пос-тійного струму.

Наведені також конкретні приклади розрахунку таких кіл з оцінкою допус-тимих похибок і перевіркою правильності результатів.

Індивідуальне контрольне завдання має 1000 варіантів і складене так, щоб після його виконання студент активно оволодів основними алгоритмами аналізу лінійних електричних кіл постійного струму.

В курсі «Теоретичні основи електротехніки» (ТОЕ) вивчаються електро-магнітні явища та процеси (як складові) в електротехнічних пристроях та сис-темах, методи аналізу та синтезу. Розглядаються фізичні особливості цих явищ і процесів, закони, яким вони підлягають, математичний апарат для опису та ана-лізу з метою вивчення функціонування електротехнічних пристроїв та систем. ТОЕ це ключ до всіх без винятку технологічних і спеціальних дисциплін електротехнічного профілю.

Лінійні електричні кола постійного струму.

Основні поняття.

Електромагнітний пристрій з фізичними процесами, що протікають в ньому та в оточуючому його просторі, за певних умов замінюють деяким розрахунко-вим еквівалентом - електричним колом.

Електричне коло - сукупність з’єднаних між собою джерел електричної енергії та навантажень, в яких може протікати електричний струм. Електро-магнітні процеси в електричному колі можна описати за допомогою понять, ві-домих із курсу фізики: струм, напруга, опір, провідність, індуктивність, єм-ність.

Електричний струм - направлений упорядкований рух часток, які несуть електричний заряд. Носії зарядів в металах - вільні електрони, в рідинах - іони.

Значення (сила) струму через деяку поверхню визначається зарядом, який проходить через неї за одиницю часу: .

В електричному колі нас цікавить саме значення (сила) струму на кожній ді-лянці. Для стислості, термін “струм” вживають як синонім терміну значення (сила) струму. Напрям руху додатніх зарядів на певній ділянці кола показують стрілкою, поряд з якою позначають струм літерою і. Тоді знак скалярної вели-чини і дає інформацію про дійсний напрям руху зарядів на цій ділянці кола.

Постійний струм – струм, незмінний у часі (позначається великою літерою І). Упорядкований рух носіїв зарядів у провідниках спричиняється електрич-ним полем, створеним в них джерелами електричної енергії.

Джерела електричної енергії перетворюють хімічну, механічну та інші ви-ди енергії на електричну.

Електрична схема - зображення електричного кола за допомогою умовних знаків (Рис. 1).

Умовні позначення: Е – джерело електричної енергії, електрорушійна сила (ЕРС) якого – Е, I – струм, R – навантаження, опір (резистор), U – напруга на полюсах ЕРС.

ЕРС вимірюється у вольтах (В), струм в амперах (А), опір в омах (Ом). Джерело електричної енергії - активний елемент електричного кола, тому що примушує рухатися заряди між своїми полюсами проти кулонових сил.

Резистор - пасивний елемент електричного кола. Елементи кола описую-ться вольтамперною характеристикою (ВАХ). Вольтамперна характеристика - залежність струму, що проходить через елемент, від напруги на ньому. ВАХ мо-жуть бути лінійними і нелінійними.

На Рис. 2, а показані ВАХ для лінійних резисторів Для лінійного резистора зв’язок між струмом і напругою на полюсах записується у вигляді: або , де . Це закон Ома для резистивного елемента кола.

Оскільки при одній і тій же напрузі струми різні (), можна зробити висновок, що На Рис. 2, б показані ВАХ для нелінійних резисторів.

Для ідеального джерела енергії - джерела напруги ЕРС , тобто на-пруга не залежить від струму, ВАХ показана на Рис.3, а. Реальне джерело має внутрішній опір , на якому є падіння напруги , тому напруга на полюсах ЕРС залежить від струму (навантаження) Рис. 3, б. При опорі навантаження в колі (Рис. 1)протікає струм короткого замикання , а напруга на клемах ЕРС дорівнює нулю (U= 0).

Із Рис. 3, б видно, що .Якщо прийняти - масштаб по осі нап-руг, - масштаб по осі струмів, то можна записати = , = I. Звідки:

Схема заміщення реального джерела з внутрішнім опором зображаєть-ся як показано на Рис. 4.

У замкненому електричному колі (Рис.5) протікає струм I. Напругу , що дорівнює різниці потенціалівміж точками а, б - можна визначити за двома шляхами:

; або ; отже ; .

Струм у колі:

Експериментальне визначення ЕРСЕ і внутрішнього опору

Для цього використовується рівняння . В режимі розриву на-вантаження () вимірюється ЕРС , при навантаженні () вимірю-ється напруга , струм і визначається внутрішній опір .

Джерело струму. Якщо рівняння розв’язати відносно струму одержимо: Позначимо: , де - струм короткого зами-кання у колі (Рис. 5).

Отже:

Останньому рівнянню відповідає еквівалентна схема з ідеальним джерелом струму J (Рис. 6).

Вольтамперна характеристика ідеального джерела струму показана на Рис. 7, а.

Для ідеального джерела напруги навіть теоретично недопустимий режим короткого замикання , а для ідеального джерела струму - режим ро-зімкненого кола .

Ідеальні джерела напруги та струму - джерела безмежної потужності.

ВАХ реального джерела енергії показана на Рис.7,б. У залежності від опору навантаження R реальне джерело енергії за своїми властивостями наближаєть-ся до джерела напруги або струму. Так при R набагато більшому від , тоб-то(), можно вважати, що джерело працює в режимі близькому до дже-рела напруги, діапазон 1 , при () – в режимі джерела стру-му, діапазон 2 .

Перехід між двома рівноцінними схемами заміщення реального джерела здійснюється, як показано на Рис. 8, за формулами: .

Примітка: орієнтація стрілок для Е і J однакова відносно полюсів а і б.

Структура електричного кола.

Кожен елемент електричного кола має, як мінімум, два зовнішні полюси, за допомогою яких він з’єднується з іншими елементами. Електричне коло утво-рюється об’єднанням полюсів елементів, які входять до його складу.

Аналіз електричного кола зводиться до визначення струмів і напруг всіх його елементів, якщо відомі параметри і спосіб з’єднання елементів між собою (структура, топологія).

З метою зменшення в розрахункових рівняннях кількості струмів і напруг для опису структури (топології) кола вводяться поняття: вітка і вузол.

Вітка – частина кола, яка розглядається відносно двох зовнішніх полюсів і характеризується струмом і напругою між цими полюсами. До складу вітки може входити один, або більша кількість елементів.

Основна вимога до внутрішньої структури вітки: повинна бути відомою, або легко знаходитись залежність між струмом і напругою на її зовнішніх полюсах. Найчастіше вітку утворюють декілька послідовно, або паралельно з’єднаних елементів.

Вузол – точка, в якій з’єднуються вітки між собою.

Отже, надалі будемо вважати, що задача аналізу електричного кола полягає в знаходженні струмів і напруг всіх його віток.

Структуру (топологію) електричного кола будемо розуміти як спосіб з’єд-нання між собою його віток. Дуже зручно показувати топологію кола у вигляді геометричної фігури – графа, який складається з ребер, що зображають вітки, і вершин, які зображають вузли кола.

На Рис. 9 зображений орієнтований граф для кола (Рис. 10). Стрілками на кожному ребрі показують напрям струму вітки і одночасно напрям відрахунку напруги цієї вітки.

Вітки, як і вузли, нумеруються натуральними числами. Граф називається

планарним, якщо його можна розмістити на площині без перетину віток.

Структурні елементи графа:

1. Шлях – сукупність віток, які з’єднують початковий і кінцевий вузли. Якщо між двома будь-якими вузлами графа існує шлях, то граф назива-ється зв’язаним, інакше не зв’язаним.

2. Контур – замкнений шлях, в якому початковий і кінцевий вузли спів-падають. Для планарного графа вводиться поняття простий, або еле - ментарний контур (вічко) – це контур, який не охоплює жодної вітки. Наприклад, на Рис. 9 прості контури утворюються вітками: 1-4-5, 2-3-4, 3-5-6.

3. Дерево – сукупність віток, що з’єднують всі вузли, але не створюють жодного контура. На Рис. 11, а, б, в показані суцільними лініями три де-рева того ж самого графа. Очевидно, що кількість віток дерева у зв’я-заному графі на одиницю менша кількості вузлів: .

Всі вітки графа, які не належать дереву називаються вітками зв’язку, або інакше, хордами. На Рис. 11, а, б, в вони показані пунктиром.

Кількість віток зв’язку: , де загальна кількість віток графа.

4. Перетин – сукупність віток, при видаленні яких граф розпадається на дві, не зв’язані між собою частини. Наприклад, на Рис. 9 вітки 6, 5, 4, 2 утворюють перетин, тому що при їх видаленні граф розпадається на дві незв’язані частини: між вузлами 1, 4 залишається вітка 1, між вузлами 2, 3 – вітка 3.

5. Головний контур – контур, до складу якого входить лише одна вітка зв’язку, а всі інші – вітки дерева.

6. Головний перетин – перетин, до складу якого входить лише одна вітка дерева, а всі інші – вітки зв’язку.

Очевидно, що для кожного графа кількість головних контурів дорівнює кількості віток зв’язку, а кількість головних перетинів – кількості віток дерева.

Конкретні сукупності віток, що належать головним контурам і головним пе-ретинам, визначаються вибором дерева графа. Так, для дерева, показаного на Рис. 11, б головні контури утворені вітками: 2-1-6, 3-5-6, 4-1-5, головні перети-ни утворені вітками: 1-2-4, 5-3-4, 6-2-3. Проаналізуйте схеми кіл Рис. 11, а,в.

Струми і напруги у вітках підпорядковуються рівнянням, які поділяються на дві групи: топологічні і компонентні.

Топологічні рівняння визначаються топологією кола, тобто способом з’єд-нання віток між собою. Вони не залежать від внутрішньої структури віток і від того, які елементи входять до складу віток.

Спочатку розглянемо топологічні рівняння, які грунтуються на законах Кірхгофа для струмів і напруг.

Закони Кірхгофа.

І закон Кірхгофа (для струмів).

Алгебраїчна сума струмів всіх віток, які належать вузлу (або перетину), дорівнює нулю.

Для запису першого закону Кірхгофа довільно приймається правило знаків, наприклад: струми, що входять у вузол беруться зі знаком «плюс» ті, що вихо-дять - зі знаком «мінус».

Запис закону для вузла (Рис. 12), для перетину(Рис. 13):

I 1 – I 2 + I 3 + I 4 = 0

Кількість незалежних рівнянь, які можуть бути складені за першим законом Кірхгофа для будь-якого кола, дорівнює кількості головних перетинів цього ко-ла. Це пояснюється тим, що в кожному з рівнянь, складених для головних пе-ретинів, буде фігурувати струм відповідної вітки дерева, якого не буде в інших рівняннях. Систему незалежних рівнянь за першим законом Кірхгофа одержи-мо також, записавши їх для незалежних вузлів кола, тобто для будь яких вузлів кола.

ІІ закон Кірхгофа (для напруг).

Алгебраїчна сума напруг всіх віток, які належать замкненому контуру, до-рівнює нулю.

Якщо в одній частині рівняння залишити напруги на резисторах, а в іншій напруги на джерелах ЕРС, то другий закон Кірхгофа формулюють так:

У замкненому контурі алгебраїчна сума напруг на опорах (резисторах) до-рівнює алгебраїчній сумі ЕРС контура.

Для запису другого закону Кірхгофа довільно вибирається напрям обходу контура, наприклад, за годинниковою стрілкою. Напруги віток, орієнтовані за напрямом обходу контура записують зі знаком «плюс», орієнтовані протилежно - зі знаком «мінус». ЕРС, які орієнтовані за напрямом обходу записуються зі знаком «плюс», орієнтовані протилежно - зі знаком «мінус».

Для замкненого контура (Рис. 14) другий закон Кірхгофа записується так: або так:

Кількість незалежних рівнянь, які можуть бути складені за другим законом Кірхгофа для будь-якого кола, дорівнює кількості головних головних контурів цього кола. Це пояснюється тим, що в кожному з рівнянь, складених для головних контурів, буде фігурувати напруга відповідної вітки зв’язку, якої не буде в інших рівняннях.

Для планарного графа систему незалежних рівнянь за другим законом Кірх-гофа одержимо, записавши ці рівняння для всіх простих контурів (вічок) кола, кількість яких дорівнює кількості віток зв’язку у планарному графі.

Запишемо рівняння за законами Кірхгофа для раніше розглянутого кола (Рис. 10), для якого