Основные свойства определителей. Методы вычисления определителей

Определители

Понятие определителя

Любой квадратной матрице n-го порядка можно поставить в соответствие число, которое называется определителем (детерминантом) матрицы A и обозначается так: , или , или det A.

Определителем матрицы первого порядка , или определителем первого порядка, называется элемент

Определитель второго порядка (определитель матрицы второго порядка) вычисляется следующим образом:

Рис. Схема вычисления определителя второго порядка

Таким образом, определитель второго порядка есть сумма 2=2! слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение 2-х сомножителей – элементов матрицы A, по одному из каждой строки и каждого столбца. Одно из слагаемых берется со знаком «+», другое – со знаком «-».

Пример:

Найти определитель

Определитель третьего порядка (определитель квадратной матрицы третьего порядка) задается равенством:

.

Таким образом, определитель третьего порядка есть сумма 6=3! слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение 3-х сомножителей – элементов матрицы A, по одному из каждой строки и каждого столбца. Одна половина слагаемых берется со знаком «+», другая – со знаком «-».

Основным методом вычисления определителя третьего порядка является так называемое правило «треугольников» (правило Саррюса): первое из трех слагаемых, входящих в сумму со знаком «+», есть произведение элементов главной диагонали, второе и третье – произведения элементов, находящихся в вершинах двух треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали; три слагаемых, входящих в сумму со знаком «-», определяются аналогично, но относительно второй (побочной) диагонали. Ниже представлены 2 схемы вычисления определителей третьего порядка

а)

б)

Рис. Схемы вычисления определителей 3 порядка

Пример:

Найти определитель:

Определитель квадратной матрицы n-го порядка (n 4) вычисляется с использованием свойств определителей.

Основные свойства определителей. Методы вычисления определителей

Определители матриц имеют следующие основные свойства:

1. Определитель не меняется при транспонировании матрицы.

2. Если в определителе поменять местами две строки (или столбца), то определитель поменяет знак.

3. Определитель с двумя пропорциональными (в частности, равными) строками (столбцами) равен нулю.

4. Если в определителе строка (столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю.

5. Общий множитель у элементов какой-либо строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.

6. Определитель не изменится, если ко всем элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число.

7. Определитель диагональной и треугольной (верхней и нижней) матриц равен произведению диагональных элементов.

8. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей.