Определители 3-го порядка

1 2 3 4 5 6 7

Рассмотрим таблицу из 9-ти элементов:

(2)

Определителем 3-го порядка, соответствующий таблице (2), называется число, равное:

а₁₁∙а₂₂∙а₃₃+ а₂₁∙а₂₃∙а₃₁+ а₂₁∙а₃₂∙а₁₃- а₁₃∙а₂₂∙а₃₁- а₁₁∙а₃₂∙а₂₃- а₂₁∙а₁₂∙а₃₃

Этот определитель обозначается символом:

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольника (правилом Саррюса):

- первое действие

- второе действие

Свойства определителей:

1) Равноправность строк и столбцов: определитель не изменится, если его строки заменить столбцами или наоборот

2)При перестановке двух параллельных рядов, определитель меняет знак.

3)Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен 0

4)Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен 0

5) Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

6)Элементарные преобразования определителя.

Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

Пример: доказать что

Доказательство:

0 (cв-ва 4 и 3)

Минором некоторого элемента а_ij определителя n-ого порядка называется определитель n-1 –ого порядка, полученный из исходного, путем вычеркивания i – строки, j – столбца

Обозначается М_ij

Алгебраическим дополнением элемента А_ijопределителя называется его минор (М_ij), взятый со знаком «+», если сумма i+j – четное число, «-» если i+j – нечетное число.

А = (-1)^i+j∙M_ij

7)Разложение определителя по элементам некоторого ряда.

Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения: