2014-02-02
3305
Вычисление определителей произвольных порядков
Преобразованиями, описанными в разделе 5.1, приводим определитель к треугольному виду. Далее, определитель равен произведению диагональных элементов.
Приведём пример вычисления определителя матрицы 
. Вычтем из каждой строки предыдущую (начиная с последней строки). В результате получим треугольную матрицу, по диагонали которой стоят 1. Определитель равен 1.
Пусть даны числа 
. Матрицей Вандермонда называется матрица, у которой на пересечении i-го столбца и j-ой строки расположен элемент, равный 
. Обозначим через 
матрицу Вандермонда. Определитель матрицы Вандермонда является многочленом от , т.к. 
. Рассмотрим определитель как многочлен от 
. Степень этого многочлена равна n-1, а его корни равны 
(т.к. определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен нулю). Следовательно, 
, где q – коэффициент при старшей степени. Легко убедиться, что 
. Таким образом получена рекуррентная формула 
, последовательным применением которой придём к равенству 
.
|
|
|
