Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами. Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида
и косинус угла между ними можно найти по формуле:
. (8.14)
Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к соответствующим условиям для их направляющих векторов:
- условие параллельности прямых, (8.15)
- условие перпендикулярности прямых. (8.16)
Угол φ между прямой, заданной каноническими уравнениями
и плоскостью, определяемой общим уравнением
Ax + By + Cz + D = 0, можно рассматривать как дополнительный к углу ψ между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости. Тогда
(8.17)
Условием параллельности прямой и плоскости является при этом условие перпендикулярности векторов n и а:
Al + Bm + Cn = 0, (8.18)
а условием перпендикулярности прямой и плоскости – условие параллельности этих векторов:
A/l = B/m = C/n. (8.19)