Классификация кривых второго порядка

Рассмотрим общее уравнение второго порядка (11.5):

и выясним, какие геометрические образы на плоскости могут задаваться этим уравнением.

1. Если собственные числа матрицы А λ ₁ и λ ₂ одного знака, уравнение (11.5) называется уравнением эллиптического типа. Его можно привести к виду (11.7): , которое, в свою очередь, преобразуется в следующую форму:

а) если имеет тот же знак, что и λ _1,2, при делении на получаем

- каноническое уравнение эллипса.

б) если =0, уравнение имеет единственное решение: , определяющее точку на плоскости.

в) если знак противоположен знаку λ _1,2, уравнение после деления на примет вид:

. Множество его решений пусто (иногда это пустое множество называют мнимым эллипсом).

2. Если собственные числа матрицы А λ ₁ и λ ₂ разных знаков, уравнение (11.5) называется уравнением гиперболического типа.

а) при оно сводится к одному из двух видов:

или , в зависимости от знака . Оба этих уравнения определяют гиперболу.

б) При =0 получаем уравнение , эквивалентное двум линейным уравнениям: и , задающим пару пересекающихся прямых.

3. Если одно из собственных чисел равно 0, уравнение (11.5) называется уравнением параболического типа, и его можно привести к одному из следующих видов:

а) к уравнению (11.8): , определяющему параболу;

б) к уравнению , или , задающему пару параллельных прямых;

в) к уравнению , определяющему одну прямую (или пару совпадающих прямых);

г) к уравнению , не имеющему решений и, следовательно, не определяющему никакого геометрического образа.