Поверхности второго порядка

Определение 12.1. Поверхностью второго порядка называется множество точек трехмерного пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

- (12.1)

уравнению второй степени от трех неизвестных, называемому общим уравнением поверхности второго порядка.

Если найти собственные числа и нормированные собственные векторы матрицы квадратичной формы и перейти к системе координат, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов, уравнение (12.1) можно привести к одному из следующих видов:

1. Если λ ₁, λ ₂, λ ₃ – одного знака, уравнение (12.1) есть уравнение эллиптического типа и приводится к канонической форме:

а) - (12.2)

каноническое уравнение эллипсоида.

Замечание, Если два собственных числа совпадают, эллипсоид называется эллипсоидом вращения и представляет собой поверхность, полученную в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Если все собственные числа равны, уравнение (12.2) становится уравнением сферы.

б) - (12.3)

уравнение задает точку в пространстве;

в) - (12.4)

пустое множество.

2. Если собственные числа разных знаков, уравнение (12.1) приводится к каноническому виду:

а) - каноническое уравнение однополостного гиперболоида, (12.5)

б) - (12.6)

- каноническое уравнение двуполостного гиперболоида,

в) - (12.7)

уравнение конуса второго порядка.

3. Одно из собственных чисел равно 0. При этом с помощью преобразований координат можно получить следующие формы уравнения (12.1):

а) - (12.8)

каноническое уравнение эллиптического параболоида,

б) - (12.9)

каноническое уравнение гиперболического параболоида

и уравнения цилиндрических поверхностей:

в) - эллиптический цилиндр, (12.10)

г) - гиперболический цилиндр. (12.11)

Наконец, уравнение может определять пару плоскостей:

д) . (12.12)

4. Если два собственных числа равны 0, уравнение (12.1) приводится к одному из следующих видов:

а) - параболический цилиндр, (12.13)

б) - пара параллельных плоскостей, (12.14)

в) - пустое множество.