Приклади розв’язування типових задач

Задача 5.1. Розподіл дискретної випадкової величини Х задано таблицею:

Х
Р	0,4	0,2	0,1	0,3

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію D Х, середнє квадратичне відхилення.

Розв’язання. Математичне сподівання випадкової величини Х обчислимо за формулою:

М (Х)= х ₁ р ₁+ х ₂ р ₂+ х ₃ р ₃+ х ₄ р ₄=2·0,4+4·0,2+8·0,1+10·0,3=5,4.

Запишемо розподіл величини Х ²:

Х 2
Р	0,4	0,2	0,1	0,3

Тоді дисперсія випадкової величини Х легко обчислюється за формулою:

=4·0,4+16·0,2+64·0,1+100·0,3–(5,4)²=

=1,6+3,2+6,4+30–29,16=12,04.

Середнє квадратичне відхилення рівне:

= »3,47.

Відповідь: МХ =5,4; DХ =12,04; σ_х»3,47.

Задача 5.2. Випадкова величина Х розподілена за законом зі щільністю р (x), причому

при x < 0,

при 0 ≤ х ≤ 3,

при х > 3.

Потрібно 1)Знайти коефіцієнт а; 2) побудувати графік розподілу щільності y = р (x); 3) знайти ймовірність попадання Х в проміжок [1;2].

Розв’язання. 1) Так як усі значення даної випадкової величини містяться у відрізку [0; 3], то

, звідки

або , тобто .

2) Графіком функції р (x) на проміжку [0; 3] є частина параболи , а поза цим проміжком – сама вісь абсцис.

3) Ймовірність попадання випадкової величини Х в проміжок [1; 2] знайдеться з рівності:

.

Відповідь: ; Р (1< Х <2)=13/27.

Задача 5.3. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу:

при x < 0,

при 0 ≤ х ≤ 1,

при х > 1.

Побудувати функцію розподілу F (x).

Розв’язання. Якщо x < 0, то р (х)=0, тому F (x)= =0.

Якщо 0 ≤ х ≤ 1, то F (x)= = х.

Якщо х > 1, то F (x)= = 1.

Отже,

Відповідь: функція розподілу