Приклади розв’язування типових задач

Задача 1.1. Телефонна лінія, що з’єднує два пункти А і В, які розташовані один від одного на відстані 2 км, обірвалась у невідомому місці. Яка ймовірність, що обрив знаходиться не далі, ніж 450 м від пункту А?

Розв’язання. Нехай подія А: „обрив знаходиться не далі, ніж 450 м від пункту А”. Розклавши мисленно всю лінію на окремі метри, можна згідно реальної однорідності всіх цих ділянок, допустити, що ймовірність обриву однакова для кожного метру. Тому шукана ймовірність дорівнює

Р(А) = 450:2000 = 0,225.

Відповідь: 0,225.

Задача 1.2. З 16 учнів, серед яких 4 дівчини, на вечір зустрічі без вибору запрошують трьох учнів. Яка імовірність того, що серед запрошених буде одна дівчина?

Розв’язання. Нехай А – подія, імовірність якої шукається. Для визначення всіх елементарних подій слід знати, скільки різних груп по 3 учні з 16 можна утворити. Тут маємо справу з числом комбінацій з 16 елементів по 3, тобто n=С₁₆³. Щоб підрахувати кількість подій, які сприяють події А, зауважимо, що одну дівчину з чотирьох можна вибрати С₄¹ способами, а два інших учня мають бути хлопцями. Два хлопця з 12 можна вибрати С₁₂² різними способами. Оскільки треба запросити 1 дівчину і 2 хлопці, то всього таких груп буде С₄¹·С₁₂², тобто m = С₄¹·С₁₂².

Отже, Р(А) = = = .

Відповідь: 33/70.

Задача 1.3. Кожну букву, що входить у слово “вдосконалення” виписано на окрему картку. Яка імовірність того, що після ретельного перемішування й виймання п’яти карток отримаємо слово “скеля”?

Розв’язання. У сполуках з тринадцяти букв по п’ять, нас цікавлять букви і їх черговість (порядок). Отже, п = А₁₃⁵. З усіх випадків лише один сприяє появі слова “скеля”, тому т = 1. Шукана імовірність

Р(А) = = = = .

Відповідь: 1/154440.

Задача 1.4. Циліндричні прути радіуса r утворюють решітку з прямокутними отворами розміром а x b. На решітку, перпендикулярно до її поверхні, кидають кульку діаметром d. Яка ймовірність того, що кулька вільно пройде через отвори?

Розв’язання. Нехай А – подія, яка заключається у вільному проходженні кульки через отвори. Якщо d>a або d>b, то ймовірність проходження Р(А) =0.

В інших випадках ймовірність проходження кульки через решітку дорівнює ймовірності проходження кульки через один отвір решітки. Площа одного отвору решітки з урахуванням розмірів прутів =(a+2r)(b+2r). Для того, щоб кулька вільно пройшла через отвір, її центр повинен знаходитися від прутів на відстані, не меншій за d /2.