Изгибы функции и их определение

В целом ряде практически важных случаев анализа деталей процессов необходимо более подробно описывать изменяемость функции у=f(x) на интервале:

Назовем функцию

выпуклой вверх (или просто - выпуклой) на интервале

, если значения функции на этом интервале находятся выше отрезка, соединяющего точки

и вогнутой (или выпуклой вниз), если ее значения находятся ниже такого отрезка. Точку с, в которой выпуклость сменяется вогнутостью (или наоборот) назовем точкой перегиба функции

Выпуклость, вогнутость и точки перегиба определяются и анализируются с помощью второй производной по следующим правилам:

1. Если значения второй производной на интервале отрицательны, то функция выпукла на этом интервале.

2. Если значения второй производной на интервале положительны, то функция вогнута на этом интервале.

3. Необходимым условием для точки перегиба является то, что в ней вторая производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует. Если при переходе через эту точку меняет знак, то это - достаточное условие перегиба.

Таким образом, для исследования функции на изгибы и точки перегиба, можно использовать следующую схему:

1. Определяем производную .

2. Находим стационарные точки из анализа области определения второй производной и решения уравнения .

3. Определяем знаки второй производной в интервалах между вычисленными точками и устанавливаем наличие точек перегиба и типы изгиба функции.

Асимптоты функции

Следующей дополнительной характеристикой функции являются асимптоты. Это - прямые, к которым стремится график функции при неограниченном возрастании (или убывании) аргумента. Существуют три вида асимптот, которые поясним чертежом:

Приведем, без доказательств, технику определения асимптот:

1. Вертикальные асимптоты х=а находятся из анализа области определения функции . Например, у = не определена в точке х=2, следовательно, х=2 и есть вертикальная асимптота.