Точки разрыва функции и вертикальные асимптоты её графика

Точки разрыва функции – это точки и , в которых функция не определена. Вычислим пределы функции в этих точках:

Поэтому прямые с уравнениями и являются вертикальными асимптотами графика функции.

Невертикальные асимптоты графика функции.

Невертикальной асимптотой будем называть асимптоту, не параллельную оси Оу. Невертикальная асимптота графика функции при существует тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы

Эта асимптота имеет уравнение .

Вычислим пределы

Так как оба предела и конечны, то график функции имеет невертикальную асимптоту при . Её уравнение , то есть .

Построение графика функции.

На основании результатов проведенного исследования строим график функции.

Рис. 1

Четность функции облегчает построение графика: строим часть графика функции для значений , а затем отображаем эту часть графика симметрично относительно оси ординат и получаем весь график.

Для уточнения графика рассмотрим несколько дополнительных точек:

, .

9. Множество значений функции.

Вид графика (см. рис. 3.1) позволяет сделать вывод, что .

Индивидуальные задания

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и на основании полученных результатов построить её график.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Практическая часть

Задание 1. Изобразить область определения функции двух переменных .

Функция определена во всех точках, координаты и которых удовлетворяют неравенству или . Уравнение задаёт параболу, а неравенству удовлетворяют координаты точек плоскости, расположенных левее этой параболы:

Рис.2.

Область определения функции изображена на рис.4.

Задание 2. Найти частные производные функции двух переменных 2-го порядка.

а) При нахождении частной производной переменная рассматривается как постоянная:

При нахождении частной производной переменная рассматривается как постоянная:

Найдём частные производные второго порядка:

б) найдём частные производные первого порядка:

, .

Найдём частные производные второго порядка:

Задание 3. Исследовать на экстремум функцию .

Вычислим частные производные первого порядка

и приравняем их к нулю:

Решая систему уравнений, находим стационарную точку Чтобы определить, действительно ли точка является точкой экстремума, найдём частные производные второго порядка: