Метод скорейшего спуска (метод градиента)

Пусть имеется система нелинейных уравнений:

(*)

Систему (*) удобнее записать в матричном виде:

(**)

где - вектор – функция; - вектор – аргумент.

Решение системы (*) будем искать в виде

(***)

Здесь и - векторы неизвестных на p и p + 1 шагах итераций; вектор невязок на p -ом шаге – f^(p) = f (x^(p)); W'_p – транспонированная матрица Якоби на p – ом шаге;

;

.

Критерий остановки итерационного процесса:
Решить системы нелинейных уравнений

I.

a=1,2,3,4,5;

II.

b=0.5 (0.5) 5;I

. 1) a=1;

Графически найдем приблизительно решение системы

Из графика видно 2 решения:

Примерно (1.7; 1.5) и (-1.5; -1).

Вычисляем:

Имеем

а) Выберем начальное приближение для точки (1.7; 1.5):

По вышеприведенным формулам найдем первое приближение:

eps=0.0911

Аналогично вычисляем последующие итерации. Занесем эти результаты для наглядности в таблицу:

i							eps
						0.00801	0.0911
						0.01276	0.0075
						0.0484	0.01212
						0.01269	0.00189
						0.04935	0.00247
						0.01268	0.00037

б) Выберем начальное приближение для точки (-1.5; -1):

По вышеприведенным формулам найдем первое приближение:

eps=0.04852

Аналогично вычисляем последующие итерации. Занесем эти результаты для наглядности в таблицу:

i							eps
						0.02925	0.04852
						0.02575	0.00769
						0.06082	0.00308
						0.02603	0.00212
						0.06168	0.00083

Ответ:

1 решение: ;

2 решение: ;

. 2) a=2;

Графически найдем приблизительно решение системы

Из графика видно 2 решения:

Примерно (1.3; 1.5) и (-1.1; -1.2).

Вычисляем:

Имеем

а) Выберем начальное приближение для точки (1.3; 1.5):

будем заносить все в таблицу

i							eps
						0.01585	0.01214
						0.02076	0.00603
						0.01596	0.00122
						0.02074	0.00073

б) Выберем начальное приближение для точки (-1.1; -1.2):

будем заносить все в таблицу

i							eps
						0.02606	0.01355
						0.04575	0.00148
						0.02702	0.00003

Ответ:

1 решение: ;

2 решение: ;

. 3) a=3;

Графически найдем приблизительно решение системы

Из графика видно 2 решения:

Примерно (1.1; 1.6) и (-1; -1.2).

Вычисляем:

Имеем

а) Выберем начальное приближение для точки (1.1; 1.6):

будем заносить все в таблицу

i							eps
						0.01559	0.01126
						0.01557	0.00152
						0.01548	0.00029

б) Выберем начальное приближение для точки (-1; -1.2):

будем заносить все в таблицу

i							eps
						0.02369	0.0153
						0.02822	0.00146
						0.0307	0.00029

Ответ:

1 решение: ;

2 решение: ;

. 4) a=4;

Графически найдем приблизительно решение системы

Из графика видно 2 решения:

Примерно (1.1; 1.6) и (-0.8; -1.3).

Вычисляем:

Имеем

а) Выберем начальное приближение для точки (1.1; 1.6):

будем заносить все в таблицу

i							eps
						0.01138	0.02052
						0.01554	0.0289
						0.01206	0.00167
						0.01498	0.00055

б) Выберем начальное приближение для точки (-0.8; -1.3):

будем заносить все в таблицу

i							eps
						0.02207	0.00353
						0.02999	0.00368
						0.02204	0.00013

Ответ:

1 решение: ;

2 решение: ;

. 5) a=5;

Графически найдем приблизительно решение системы

Из графика видно 2 решения:

Примерно (0.9; 1.7) и (-0.7; -1.3).

Вычисляем:

Имеем

а) Выберем начальное приближение для точки (0.9; 1.7):

будем заносить все в таблицу

i							eps
						0.01733	0.03684
						0.01011	0.00098

б) Выберем начальное приближение для точки (-0.7; -1.3):

будем заносить все в таблицу

i							eps
						0.01893	0.02052
						0.02922	0.00902
						0.01824	0.00202
						0.02856	0.0009

Ответ:

1 решение: ;

2 решение: ;

6 Найти собственные числа и собственные вектора матрицы:

А=

Решение

Составим характеристическое уравнение

=0

(1-

(1-