Іноді в роботі з таблицями (матрицями) прикладів типу 1–3 із 1.8., доводиться виконувати над ними певні операції. Так, якщо в прикладі 1 потрібно підрахувати заплановий розмір стипендій за семестр (6 місяців), то очевидно необхідно кожний елемент цієї матриці помножити на 6. Виникає необхідність множити матрицю на число.
Якщо в умовах прикладу 2 ми маємо відомості 3-х місяців одного квартала, то можна скласти зведену відомість за квартал, додаючи розміщені у відповідних графах дані стосовно кожного робітника.
Приходимо до дії додавання матриць.
Якщо в умовах прикладу 3, 1.8. позначити через і – результати роботи 3-х змін за першу і другу добу відповідно, то можна знайти сумарні результати за дві доби додаванням відповідних елементів і позначити це
Отже з прикладів бачимо, що цілком природно виникає необхідність дій множення матриці на число і додавання матриць.
Означення 1. Добутком числа на матрицю розміру називається нова матриця того ж розміру, кожний елемент якої дорівнює відповідному елементу матриці помноженному на число , тобто
|
|
Матриця (–1) – протилежна матриці , і позначається .
Дія додавання вводиться тільки для матриць одного і того ж розміру.
Означення 2. Сумою двох матриць і розміру називається матриця того ж розміру, кожний елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць–доданків, тобто , і позначається .
Якщо ж , то — різниця матриць.
Дії додавання, віднімання і множення матриць на число називаються лінійними діями над матрицями.
Можна перевірити, що вони мають такі властивості:
Тут позначено через 0 – нульову матрицю і — протилежну матриці .
Вправа. Перевірити властивості 1–8 для матриць
і чисел .
Приклад. Задані матриці
, .
Знайти 1) ; 2) .
Розв’язання. 1)
.
2) .
Множення матриць
Множення матриць розглянемо, починаючи з відомого вже прикладу 3, при підрахунку грошових затрат на виконання робіт по проходці в шахті (метро, тунелі). Нехай в рядках матриці
записані результати роботи за добу кожної із трьох змін: по виїмці породи (перший стовпець) і по кріпленню пройденої виробки (другий стовпець). Як вже згадувалось, при заданій площі поперечного перетину проходки результати робіт можуть вимірюватись в пройденних погонних метрах. Замовнику необхідно знати, яку суму грошей прийдеться виділяти на оплату праці робітників, а яку – на капітальні витрати. Існують норми розцінок на зарплату і капітальні витрати, які представимо у вигляді матриці розцінок
де перший стовпець – норми оплати праці робітників: за 1 погонний метр по виїмці породи і за 1 погонний метр по кріпленню відповідно. Другий стовпець: – відповідні капітальні затрати за 1 погонний метр виїмки і за 1 погонний метр кріплення.
|
|
Загальні затрати на зарплату для кожної із змін дорівнюють сумі добутків пройдених кількостей метрів по обох видах робіт на відповідні норми розцінок. Позначимо через сумму грошей зароблену -ю зміною . Аналогічно підраховуються капітальні затрати для -ої зміни по виїмці і кріпленню.
Отримаємо таблицю затрат
Зміни | Затрати на зарплату по виїмці і кріпленню | Капітальні затрати по виїмці і кріпленню |
І-а зміна | ||
ІІ-а зміна | ||
ІІІ-я зміна |
Ці дані запишемо у вигляді нової матриці затрат , що отримана з матриць і за допомогою операції, яку називають множенням матриць, і позначають
Для множення матриці розміру на матрицю розміру необхідна їх узгодженність, тобто, щоб число стовпців матриці (першого співмножника) збігалося з числом рядків матриці (другого співмножника). Так в наведеному прикладі матриця узгоджується з матрицею (для кожного виду робіт є норми розцінок). Однак матриця не є узгодженою з матрицею .
Означення 1. Добутком матриці розміру на матрицю розміру називається матриця розміру , елементи якої дорівнюють сумі добутків елементів -того рядка матриці на відповідні елементи -того стовпця матриці , тобто
.
Із структури елементів зрозуміло необхідність узгодженості матриць і : кожному елементу в -тому рядку матриці (першого співмножника) повинен відповідати елемент в -тому стовпці матриці (другого співмножника). Число рядків матриці дорівнює числу рядків першого співмножника, а число стовпців- числу стовпців другого співмножника.
Приклад 1. Знайти добуток матриць і , якщо , .
Розв’язання. Матриця має розмір 2х2, розмір матриці - 2х3. Число стовпців матриці дорівнює 2 і збігається з числом рядків матриці . Отже, матриці узгоджені, тому можна множити матрицю на матрицю . В результаті отримаємо матрицю розміром 2х3, тобто
.
Приклад 2. Переконатись, що для даних матриць
Звернути увагу, що в даному випадку .
Приклад 3. Переконатись, що для даних матриць
Звернути увагу, що добуток двох ненульових матриць може давати нульову матрицю, і, крім того, .
Означення 2. Матриці і називаються переставними або комутативними, якщо .
Приклад 4.
Легко перевірити, що довільна квадратна і одинична матриці комутативні, і при цьому .
Приклад 5. Перевірити останню рівність, якщо
Можна показати, що множення матриць має такі властивості:
де – число;
.
Тут мається на увазі, що всі записані добутки матриць існують.
Приклад 6. Перевірити властивості 1-4, якщо число , а матриці такі:
, , С= .
Розглянемо поняття степеня квадратної матриці.
Означення 3. Квадратом матриці (позначається ) називається добуток , тобто .
Аналогічно вводиться .
Приклад 7. Для матриць і , де
, ,
довести, що , та знайти значення виразів.
Означення 4. Якщо - заданий многочлен і деяка квадратна матриця, то вираз
де - одинична матриця, називається многочленною матрицею.
Приклад 8. Для матриці
Знайти
Обчислити степені квадратних матриць:
9. . 10 . 11. .
12. . 13. . 14. .
Перемножити прямокутні матриці:
15. . 16. .
17. .
Знайти , якщо задана матриця і функція
Відповіді.
8. . 9. .
10. . 11. . 12. .
13. . 14. . 15. .
16. . 17. .