Квадратні рівняння з від’ємними дискримінантами

IV. Комплексні числа (к. ч.)

Дійсні числа

Нагадаємо, що числа 1, 2, 3, 4,..., n,..., за допомогою яких ведеться лічба, називаються натуральними. Множину натуральних чисел прийнято позначати буквою N,

= {1, 2, 3, …, n,...}.

Якщо до множини натуральних чисел включити число нуль, а також –1, –2, –3,..., то утвориться множина цілих чисел Z ={..., –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3,...}.

Раціональні – це числа вигляду , де q – натуральне, а p – ціле. Множина раціональних чисел позначається Q = { , }. Раціональні числа – виражаються звичайними дробами, які можна перетворювати у десяткові: скінченні або нескінченні періодичні.

Числа, які виражаються нескінченними неперіодичними десятковими дробами називаються ірраціональними (нераціональними). Множину ірраціональних чисел позначають буквою І. Прикладами ірраціональних чисел є:

=3,1415926536897931..., е = 2,71828182845904535...,

= 1,4142135623..., і т.п.

Об’єднання множин раціональних і ірраціональних чисел утворює множину дійсних чисел (позначається буквою R), тобто:

.

Відомо, що між точками числової осі ОХ і множиною дійсних чисел R існує взаємно однозначна відповідність.

Квадратні рівняння з від’ємними дискримінантами

Відомо, що корені квадратного рівняння

(1)

знаходяться за формулами

(2)

де вираз називають дискримінантом.

При D >0 корені квадратного рівняння дійсні і різні;

при D =0 корені дійсні і рівні;

при D <0 говорять. що дійсні корені не існують, а існують, так звані, комплексні корені.

Приклад. Знайти корені квадратного рівняння

.

За формулами (2) маємо:

.

Серед дійсних чисел вираз не має смислу, тобто не є дійсним числом. Запишемо формально: .

Символ прийнято позначати буквою і, тобто:

, а

його називають уявною одиницею.

Тепер корені рівняння запишуться:

.

Перевірка. Для маємо:

.

Аналогічно робиться перевірка для .

Отже, для квадратного рівняння існують два корені і , які не є дійсними, вони відносяться до комплексних чисел.