Аналогичные алгоритмы применяются для перевода из десятичной системы счисления в любую другую с заданным основанием

Лабораторная работа № 3

Системы счисления

Определение: Под системой счисления понимается способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков.

Системы счисления делятся на:

• Позиционные, в которых значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (или разряда).

Например, десятичная система счисления. В зависимости от позиции цифры в числе, она может отвечать за десятки, сотни, тысячи и т.д.

Рассмотрим число 567.

В нем цифра 5 стоит в разряде сотен, то есть получаем 5 х 100= 500

ИЛИ, 5 х 10² = 500

Цифра 6 стоит на позиции десятков, получаем 6 х 10 = 60

ИЛИ, 6 х 10¹ = 60

Цифра 7 стоит в разряде, соответствующем единицам, то есть имеем 7 х 1= 7

ИЛИ 7 х 10⁰ = 7

Сложив все значения на позициях (по разрядам), получим:

5 х 10² + 6 х 10¹ + 7 х 10⁰ = 567

Рассмотрим число 56.

В нем, в отличии от предыдущего примера, цифра пять означает пятьдесят, а цифра 6 – 6 единиц.

• Непозиционные, в которых значение каждого знака не зависит от расположения этого знака в числе.

Примером непозиционной системы счисления является Римская система счисления. В ней для записи чисел используются буквы латинского алфавита.

I - означает "один";
V - означает "пять";
X - означает "десять";
L - означает "пятьдесят";
C - означает "сто";
D - означает "пятьсот";
M - означает "тысяча";
Для записи чисел в римской системе используются два правила:
1- каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него;
2- каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к нему.

Рассмотрим Двоичную систему счисления — это позиционная система счисления с основанием 2. Благодаря непосредственной реализации в цифровых электронных схемах, двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и прочих вычислительных электронных устройствах.

Для записи чисел в двоичной системе счисления используются две цифры: 0 и 1.

Именно поэтому она используется в электронных устройствах, принцип работы которых основан на присутствии двух устойчивых состояний: высокое напряжение – низкое напряжение, есть ток – нет тока, намагничено – ненамагничено и т.д.

Форму записи числа в двоичной системе счисления рассмотрим на примере:

Пусть нам дано следующее число 1001₂

Индекс 2 в конце записи указывает на то, в какой системе счисления записано число.

То есть, числа 1001₂ и 1001₁₀ – это два разных числа в различных системах счисления.

Число 1001₁₀ в десятичной системе счисления означает «одна тысяча один»

Переведем число 1001₂ из двоичной системы счисления в десятичную.

Для этого найдем сумму разрядов числа, как мы делали в примере с числом 567. Но вместо степени числа 10, будем использовать степень числа 2:

1001₂ = 1 х 2³ + 0 х 2² + 0 х 2¹ + 1 х 2⁰ = 8 + 0 + 0 + 1 = 9₁₀

То есть, число 1001₂ в двоичной системе счисления – есть число девять в десятичной системе счисления.

Аналогично выполняется действия для перевода из системы счисления с заданным основанием в десятичную. Необходимо только вместо числа 2 подставить основание заданной системы счисления.

Обратный перевод, из десятичной системы счисления в двоичную, выполняется по следующему алгоритму: необходимо делить число на основание системы счисления 2 до тех пор, пока частное от деления не станет меньше основания системы счисления (то есть, пока оно не будет равно 0 или 1), а остатки от деления на промежуточных этапах фиксировать по порядку. Для получения результата надо записать частное от деления (0 или 1), а далее все остатки от деления в обратной последовательности.

Рассмотрим пример, переведем число 11₁₀ в двоичную систему счисления:

11: 2 = 5, остаток 1

5: 2 = 2, остаток 1

2: 2 = 1, остаток 0

частное от последнего деления равно 1, это меньше основания системы счисления (1<2), поэтому деление останавливаем и записываем полученное число, вначале частное от деления, далее остатки в обратном порядке: 1011₂

Проверка: 1 х 2³ + 0 х 2² + 1 х 2¹ + 1 х 2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Аналогичные алгоритмы применяются для перевода из десятичной системы счисления в любую другую с заданным основанием.

ЗАДАНИЕ № 1:

Перевести числа в заданную систему счисления

№ варианта	Исходное число	Основание исходной системы счисления	Основание системы счисления для перевода	Исходное число	Основание исходной системы счисления	Основание системы счисления для перевода

ЗАДАНИЕ № 2:

Какое из перечисленных ниже равенств верно для заданных в таблице чисел:

1. A < B

2. A > B

3. A = B

№ варианта	Число А	Основание системы счисления для числа А	Число B	Основание системы счисления для числа B

Задание выполняется в аудитории. Расчетное время выполнения – 1 академический час.

Отчет оформляется в аудитории и должен содержать:

• ФИО студента, № группы, № варианта
• Задание
• Подробное решение