Тема 3. Основы дифференциального исчисления

Пусть на интервале задана функция . Возьмем некоторое число и придадим аргументу приращение . Тогда значение функции получит приращение . Рассмотрим отношение . Если при существует конечный предел дро­би , то этот предел называют произвoдной функции в точке и обозначают симво­лом (или ):

.

Нахождение производной называют дифференцированием функции.

Функцию называют дифференцируемой в точке , если в окрестности этой точки ее приращение может быть представлено в виде:

.

Можно доказать, что для дифференцируемости функции необходимо и достаточно, чтобы существовала и была конечной ее производная, при этом .

Выражение называют дифферен-циалом функции и обозначают . Приращение аргумента называют дифференциалом независимой переменной и обозначают . Таким образом, .

Геометрически дифференциал есть приращение касательной, проведенной к графику функции в точке , и может быть как меньше, так и больше приращения функции . Для линейной функции

Если производная существует для всех из интервала , то тем самым производная определена как функция в этом интервале, и можно говорить о производной от этой функции, называемой второй производной функции : Аналогично вводится понятие высших производных (третья производная и т.д.)

Для освоения техники дифференцирования, то есть нахождения производных, необходимо использовать правила дифференцирования и таблицу производных наиболее часто встречающихся функций.

Основные правила дифференцирования

1. .

2. ( – постоянная) .

3.

4. .

5. Производная сложной функции: если , то , где производные функций в правой части равенства берутся по аргументам и соответственно.

Приведем таблицу производных наиболее часто используемых функций:

1. ( – постоянная)

2.

3.

4. ( – постоянная)

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции: , при y > 0. Нахождение производных от многих функций значительно упрощается, если эти функции предварительно прологарифмировать, а затем воспользоваться логарифмической производной. При этом логарифмическую производную применяют формально, не учитывая, что формула имеет смысл лишь при y > 0.

Функция y(x) называется неявной, если зависимость между х и у выражена уравнением F(x,y)=0, неразрешенным относительно у.

Чтобы найти производную от неявной функции, надо данное уравнение продифференцировать, считая у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно производной .

Рассмотрим примеры вычисления производных.

Пример1. Найти производную функции .

Решение. Применяя правила 4,1 и таблицу производных, получим:

.

Пример2. Найти , если .

Решение. Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, получим:

Пример3. Найти производную функции .

Решение. Применим логарифмическую производную:

Пример4. Найти производную функции .

Решение. В случае произведения нескольких сомножителей применение логарифмической производной также эффективно:

.

Пример5. Найти производную функции , если .

Решение. Применим правило дифференцирования неявной функции:

Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале , полностью входящем в область ее определения, если для любых и из этого интервала из неравенства следует выполнение неравенства (). Если неравенства выполняются как строгие, то говорят о строгом возрастании (убывании) функции. Интервалы, на которых функция возрастает или убывает, называются интервалами монотонности функции.

Внутренняя точка интервала называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такое , что для всех из интервала , содержащегося внутри интервала , выполняется неравенство (). Точки максимума и минимума называют точками экстремума функции.

Приведем формулировки теорем, используемых при исследовании функций.

Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции.

Если () в интервале , то строго возрастает (убывает) в этом интервале.

Необходимое условие экстремума функции.

Если функция дифференцируема в точке и достигает в этой точке максимума (минимума), то .

Точками экстремума могут быть только точки, в которых производная равна нулю, либо производная не существует. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, на­зывают точками, подозрительными на экстремум, или критическими точками.

Достаточное условие экстремума функции.

Если при переходе через точку , подозрительную на экстремум, производная меняет знак, то точка является точкой экстремума. При этом если в некоторой окрестности точки для и для , то является точкой максимума. Если же в этой окрестности для и для , то – точка минимума.

При исследовании функции на экст­ремум рекомендуется придерживаться следующего плана.

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции.

3. Найти корни производной и точки ее разрыва, принадлежащие области определения функции (то есть точки, подозри­тельные на экстремум).

4. Определить интервалы знакопостоянства производной, границами которых служат точки, подозрительные на экстремум.

5. Определить знак производной на каждом из образовавшихся интервалов. Если при переходе через точку, подозрительную на экстремум, производная меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то эта точка – точка максимума (минимума). Если же при переходе через точку, подозрительную на экстремум, производная знака не меняет, то экстремума в этой точке нет.

Пример 6. Найти область определения и экстремумы функции .

Решение.

1. Областью определения функции является вся действи­тельная ось, т.е. .

2. Найдем производную функции.

3. Корнями производной являются точки: , , . Точек разрыва у производной нет.

4. Область определения разбивается найденными точками на промежутки:

, , , .

5. Определим знак производной в каждом из промежутков. Так как производная непрерывна при всех , то в каждом интервале она сохраняет знак, и для определения ее знака достаточно найти ее знак в любой точ­ке интервала.

Рассмотрим интервал . Возь­мем точку . Так как , то на интервале производ­ная будет положительной. Аналогично определяем знак производной на остальных интервалах. На интервале производная положительна. На интервале производная отрицательна. На интервале производная положительна. Так как при переходе через точку производная знака не меняет, в этой точке экстремума нет.

При переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, является точкой максимума и . При переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, в этой точке у функции минимум и ;

Результат удобно представить в виде схемы (рис.1).

Рис. 1

Пример 7. Найти экстремумы функции .

Решение.

1. Областью определения функции – вся действи­тельная ось, кроме точки , т.е. , .

2. Найдем производную функции:

.

3. Производная обращается в ноль при и и не существует в точке , которая не при­надлежит области определения функции.

4. Область определения разбивается на следующие интервалы: , , , .

5. На промежутке . На промежутке .На промежутке . На промежутке .

Таким образом, при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, а это означает, что, в точке функция имеет максимум и . Точка не входит в об­ласть определения функции и не может быть точкой экстремума. При переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому в точке функция име­ет минимум и . Иллюстрация полученного решения представлена на рис. 2.

Рис. 2

Пример 8. Найти область определения и экстремумы функции .

Решение.

1. Областью определения функции является вся действи­тельная ось, т.е. .

2. Найдем производную функции.

3. Корнями производной являются точки и , при производная терпит разрыв.

4. Область определения разбивается найденными точками на 4 промежутка:

, , и .

5. Определим знак производной в каждом из промежутков.

Рассмотрим интервал . В нем отрицательна. На интервале производная положительна. На интервале производная отрицательна. На интервале производная положительна. При переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, эта точка является точкой максимума и . При переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, эта точка является точкой минимума и . В точке производная не существует, однако эта точка входит в область определения функции. Поскольку слева от точки производная отрицательна, а справа положительна, то эта точка является точкой минимума и (см. рис.3).

Рис.3

Контрольные задания

Найти производную функций;

Найти область определения функции и точки экстремума.

3.1. .

3.2. .

3.3. .

3.4. .

3.5. .

3.6 .

3.7. .

3.8. .

3.9. .

3.10. .

3.11. .

3.12. .

3.13. .

3.14. .

3.15. .

3.16. .

3.17. .

3.18. .

3.19. .

3.20. .